WWW.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Pages:   || 2 |

«Н.М. Фатеева, О.А. Возилкина, Н.В. Тумбаева АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА Учебно-методические указания Барнаул Издательство АГАУ 2008 1 УДК 681.518 (075) ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Н.М. Фатеева, О.А. Возилкина, Н.В. Тумбаева

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Учебно-методические указания

Барнаул

Издательство АГАУ

2008

1

УДК 681.518 (075)

Рецензенты:

д.ф.-м.н., профессор, зав. каф. прикладной информатики Алтайской академии экономики и права А.В. Пляшешников;

к.т.н., доцент кафедры производственного обучения, инженерной

графики и САПР АГАУ Г.С. Сидоров.

Фатеева Н.М. Арифметические и логические основы компьютера:

учебно-методические указания / Н.М. Фатеева, О.А. Возилкина, Н.В. Тумбаева. Барнаул: Изд-во АГАУ, 2008. 53 с.

Учебно-методическое издание составлено в соответствии с учебной программой по курсу «Информатика» и содержит информацию по вопросам систем счисления, алгебры логики, примеры решения и оформления практических заданий, задания для самостоятельной работы по вариантам.

Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Информатика».

Рекомендовано к изданию методической комиссией учетнофинансового факультета Алтайского государственного аграрного университета (протокол № 2 от 17 октября 2008 г.).

© Фатеева Н.М., Возилкина О.А., Тумбаева Н.В., © ФГОУ ВПО АГАУ, © Издательство АГАУ, Содержание ВВЕДЕНИЕ

ИНФОРМАЦИЯ

Вопросы для самопроверки

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Римская непозиционная система счисления

Позиционные системы счисления

Десятичная система счисления

Двоичная система счисления

Позиционные системы счисления с произвольным основанием

Перевод чисел в позиционных системах счисления

Перевод чисел в десятичную систему счисления

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.......... Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Двоичная позиционная система счисления

Восьмеричная позиционная система счисления

Шестнадцатеричная позиционная система счисления........... Представление чисел в формате с фиксированной и плавающей запятой

Нормализованные и ненормализованные числа

Формы кодирования целых чисел

Вопросы для самопроверки

Задания по теме «Системы счисления»

Индивидуальные задания (по вариантам)

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Основные понятия алгебры логики

Основные законы алгебры логики

Импликация и эквивалентность

Логические основы устройства компьютера

Вопросы для самопроверки

Задачи алгебры логики

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

ВВЕДЕНИЕ

Информация – одна из ключевых тем курса «Информатика». В определенных условиях можно пренебречь качественными особенностями информации, выразить ее количество числом, а также сравнить количество информации, содержащейся в различных группах данных.

Математический аппарат алгебры логики удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два – 1 и 0.

Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных.

На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из которых состоят узлы компьютера.

Задача данных методических указаний состоит в том, чтобы оказать помощь студентам в самостоятельном изучении вопросов по работе с информацией. Рассмотренные примеры и задачи помогут эффективному освоению данного раздела «Информатики».

В методические указания включены вопросы арифметических и логических основ компьютера, а именно:

1. Представление числовой информации с помощью систем счисления.

2. Позиционные, непозиционные системы счисления.

3. Позиционные системы счисления с произвольным основанием.

4. Перевод чисел в позиционных системах счисления.

5. Арифметические операции в позиционных системах счисления.

6. Представление чисел в формате с фиксированной и плавающей запятой.

7. Основные понятия алгебры логики.

8. Основные законы алгебры логики.

9. Логические основы устройства компьютера.

10. Задачи алгебры логики.

ИНФОРМАЦИЯ

В начале XXI века человечество вступило в эпоху новой научнотехнической революции – информационной. В XX веке удалось овладеть многими тайнами превращения вещества и энергии и использовать эти знания для улучшения качества жизни.

Но наряду с веществом и энергией в жизни человека огромную роль играет информация (самые разнообразные сведения, сообщения, известия, знания и умения, которые он получает из окружающего мира). И с каждым веком, десятилетием и годом роль информации в жизни человека все увеличивается. В наше время основными ресурсами общества становятся не труд и капитал, а информация и знания.

Особенно быстро возросла роль информации после изобретения в середине XX века компьютера – машины для приема, переработки, хранения и выдачи информации. Компьютер является цифровой машиной, в которой информация представляется в виде чисел, как правило, в двоичной системе счисления. Любая информация (например, зрительная или звуковая) в компьютере кодируется, т.е. представляется в виде чисел, а затем перерабатывается в соответствии с заложенной программой.

С появлением компьютеров сформировалась информатика – наука об общих свойствах и закономерностях информации, методах ее поиска, передачи, хранения, обработки и использования в различных сферах деятельности человека. Термину «информатика» предшествовал термин «кибернетика». Кибернетика – наука об общих принципах управления в различных системах: технических, биологических, социальных и др. Кибернетика изучает системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию и использовать ее для управления и регулирования. Слово кибернетика (от греческого kibernetike – искусство управления) – название книги великого математика в 50-е годы XX века Норберта Винера – стало названием новой науки кибернетики.

В англоязычных странах информатику стали называть компьютерной наукой (computer science). В 60-х годах во франкоязычных странах появился аналогичный термин informatique (информатика), образованный путем слияния слов information (информация) и automatique (автоматика). Он означает «информационная автоматика», или «автоматизированная переработка информации». Этот термин в нашей стране и стал названием науки информатики. Она включает в себя теоретическую информатику (в том числе математическую логику и теорию информации), кибернетику, программирование, информационные системы, вычислительную технику, информатику в природе и обществе, проблемы создания искусственного интеллекта.

Термин «информация» ведет свое происхождение от латинского слова informatio, что в переводе означает разъяснение, изложение, осведомленность. Информацию мы передаем друг другу в устной и письменной форме, а также в форме жестов и знаков. Любую нужную информацию мы осмысливаем, передаем другим и делаем определенные умозаключения на ее основе.

Чертежи и музыкальные произведения, книги и картины, спектакли и кинофильмы – все это формы представления информации.

Информация, в какой бы форме она ни предоставлялась, является некоторым отражением реального или вымышленного мира. Поэтому информация – это отражение предметного мира с помощью знаков и сигналов.

Получение информации – это получение фактов, сведений и данных о свойствах, структуре или взаимодействии объектов и явлений окружающего нас мира. Предметное содержание информации позволяет уяснить её основные свойства:

1. Достоверность. Информация достоверна, если она не искажает истинное положение дел. Недостоверная информация может привести к неправильному пониманию или принятию неправильных решений.

2. Полнота. Информация полна, если ее достаточно для понимания и принятия решений. Неполнота информации сдерживает принятие решений или может повлечь ошибки.

3. Ценность. Ценность информации зависит от того, какие задачи мы можем решить с ее помощью.

4. Актуальность. При работе в постоянно изменяющихся условиях важно иметь актуальную, т. е. соответствующую действительности, информацию.

5. Понятность. Информация становится понятной, если она выражена языком, доступным людям, для которых она предназначена.

Если ценная и своевременная информация выражена непонятным образом, она может стать бесполезной.

6. Релевантность. Информация способна соответствовать нуждам (запросам) потребителя.

7. Доступность. Свойство характеризует возможность получения информации данным потребителем.

8. Защищенность. Свойство характеризует невозможность несанкционированного использования или изменения информации.

9. Эргономичность. Характеризуется удобством формы или объемом информации с точки зрения данного потребителя.

10. Адекватность. Информация однозначно соответствует отображаемому объекту или явлению.

Кроме того, информацию по ее использованию можно классифицировать следующим образом: политическая, техническая, биологическая, химическая и т.д. Это, по существу, классификация информации по потребителю.

Информация – это мера устранения неопределенности в отношении исхода интересующего нас события. В физике мерой беспорядка, хаоса для термодинамической системы является энтропия системы.

Информация рассматривается как антиэнтропия или энтропия с обратным знаком. Энтропия системы может рассматриваться как мера недостающей информации.

Информация – нематериальная сущность, при помощи которой с любой точностью можно описывать реальные (материальные), виртуальные (возможные) и понятийные сущности. Информация – противоположность неопределенности.

В теории и практике информацию принято оценивать на трех уровнях: синтаксическом, семантическом и прагматическом.

На синтаксическом (формальном) уровне показывают внешние формально-структурные характеристики информации, отношения между знаками системы независимо от смыслового содержания информации.

На семантическом уровне информация рассматривается по её содержанию, отражающему состояние объекта, безотносительно её полезности для получателя. Семантика изучает отношения между знаками и их предметными и смысловыми значениями.

На прагматическом уровне информация рассматривается с точки зрения её практической полезности и ценности для потребителя.

Данные – это материальные объекты произвольной формы, выступающие в качестве средства представления информации. Преобразование и обработка данных позволяют извлечь информацию, т.е. знание о том или ином предмете, процессе или явлении. Иначе, данные служат исходным «сырьем» для получения информации. Одни и те же данные могут нести различную информацию для разных потребителей. Например, данные об анатомическом строении человека несут различную информацию для портного, врача, спортивного тренера и т.д.

Информация в компьютере представляется с помощью нулей и единиц. Компьютеры обычно работают в двоичной системе счисления, поскольку при этом устройства для их обработки получаются значительно более простыми. Ввод чисел в компьютер и вывод их для чтения человеком могут осуществляться в привычной десятичной форме, а все необходимые преобразования выполняют программы, работающие на компьютере.

Бит – наименьшая единица измерения информации. Термин «бит» произошел от выражения binary digit, что в переводе означает «двоичная цифра», которая принимает значение 0 или 1.

Таким образом, бит (binary digit – двоичная цифра 0 или 1) – количество информации, получаемой в результате однократного выбора из двух равновероятностных событий.

Использование двоичной системы счисления объясняется тем, что для хранения двоичной цифры необходим элемент всего с двумя устойчивыми состояниями, а также просты правила двоичной арифметики.

Информация размером в один бит содержится в ответе на вопрос, требующий ответа «да» или «нет». В компьютерной технике бит соответствует физическому состоянию носителя информации: намагничено – не намагничено, есть отверстие – нет отверстия. При этом одно состояние принято обозначать цифрой 0, а другое – цифрой 1.

Выбор одного из двух возможных вариантов позволяет также различать логические истину и ложь. Последовательностью битов можно закодировать текст, изображение, звук или какую-либо другую информацию. Такой метод представления информации называется двоичным кодированием.

В информатике часто используется величина, называемая байтом (byte) и равная 8 битам. И если бит позволяет выбрать один вариант из двух возможных, то байт – соответственно, 1 из 256 (28). Как и для прочих стандартных единиц измерения для бита и байта существуют производные от них единицы, образуемые при помощи приставок кило (K), мега (M), гига (G или Г), тера (T), пета (P или П) и других. Но для битов и байтов они означают не степени 10, а степени двойки:

1 Кбайт = 1024 байт = 210 байт;

1 Мбайт = 1024 Кбайт = 210 Кбайт = 220 байт;

1 Гбайт = 1024 Мбайт = 210 Мбайт = 220 Кбайт = 230 байт;

1 Тбайт = 210 Гбайт = 220 Мбайт = 230 Кбайт = 240 байт;

1 Пбайт = 210 Тбайт = 220 Гбайт = 230 Мбайт = 240 Кбайт = 250 байт.

Пример. Книга содержит 100 страниц; на каждой странице – 35 строк, в каждой строке – 50 символов. Рассчитаем объем информации, содержащийся в книге.

Страница содержит 35 50 = 1750 байт информации. Объем всей информации в книге (в разных единицах):

1750 100 = 175000 байт;

175000 / 1024 = 170,8984 Кбайт;

170,8984 / 1024 = 0,166893 Мбайт.

Приставка «кило» в данном случае обозначает не тысячу, а 210 = 1024 бит, «мега» – не миллион, а 220 = 1048576 бит и т.д.

В 1948 г. Клод Шеннон в своих работах по теории связи предложил формулу для вычисления количества информации в случае различных вероятностей событий:

где I – количество информации;

N – количество возможных событий;

pi – вероятность i-того события.

Для частного, но широко распространенного случая, когда события равновероятны (pi = 1/N), величину количества информации можно рассчитать по формуле:

Пример. В игре «Крестики-нолики» на поле 8х8 перед первым ходом существует 64 возможных события (64 различных варианта расположения «крестика»). Решим показательное уравнение: 64 = 2I.

Ответ: I = 6.

Таким образом, количество информации, полученное вторым игроком после первого хода первого игрока, составляет 6 битов.

При вводе в компьютер каждая буква кодируется определенным числом, а при выводе на внешние устройства (экран или печать) для восприятия человеком по этим числам строятся соответствующие изображения букв. Процедура присвоения объекту кодового обозначения называется кодированием.

Например, можно обозначить каждую букву числами, соответствующими ее порядковому номеру в алфавите: А – 01, Б – 02, …, Я – 32. Точку можно обозначить числом 33, запятую – 34 и т.д. Так как в устройствах автоматической обработки информации используются двоичные коды, то буквы будут обозначаться следующим образом: А – 000001, Б – 000010, …, Я – 10000. При таком кодировании любое слово можно представить в виде последовательности кодовых групп, составленных из 0 и 1. Например, слово ЭВМ выглядит так:

011110000011001110.

В настоящее время существует несколько широко распространенных схем кодирования: ANSI, Unicode. Отечественной версией кода ASСII является код КОИ-7.

ANSI-кодировка (ANSI – American National Standards Institute, Американский национальный институт стандартов). Кодировка символов 8-разрядными двоичными числами, используемая в Windows, обеспечивает представление 256 символов.

Unicode – кодировка символов 16-разрядными двоичными числами, в результате использования которой удается представить различных знаков. Этого вполне достаточно для одновременного представления всех букв основных языков и всевозможных буквенных символов. В более компактных кодировках (ANSI) могут одновременно представляться буквы только двух алфавитов, например, латинского и русского. Кодировку Unicode в настоящее время имеют шрифты, а также имена папок и файлов.

Кодировки отличаются, поэтому русскоязычные текстовые файлы, подготовленные в кодировке КОИ-7, оказываются нечитаемыми в других кодировках и, наоборот, без предварительной конвертации.

1. Поясните понятия «информатика», «информация», «данные».

2. В чем различие информации и данных?

3. Меры измерения информации – прагматическая, семантическая, синтаксическая. Поясните их значения.

4. Поясните значение понятия «энтропия».

5. Какими показателями характеризуется информация? Поясните их значения.

6. Какой формулой выражается число состояний (N) отображаемого объекта в n разрядах в сообщении в системе счисления с основанием m?

7. Чему равно наибольшее натуральное число, кодируемое 7 битами?

8. Сколько двоичных разрядов необходимо для кодирования 20 различных состояний?

9. Чему равно минимально необходимое для записи целого числа 216 количество байт?

10. Для чего используется Формула Шеннона, учитывающая вероятность Рi наступления i-того события из набора N событий?

11. Сколько кластеров файл займет на диске, если размер кластера 512 байт, а размер файла 816 байт?

12. Какая система счисления в вычислительной технике используется в качестве основной?

13. Какой термин в англоязычных странах соответствует термину «информатика»?

14. Какие единицы измерения информации используются в компьютере, каково соотношение единиц?

15. Назовите объем гибкого, жесткого, лазерного дисков?

16. Поясните понятия «информационные ресурсы общества», «компьютеризация общества», «информационное общество»?

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Представление числовой информации Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – не зависит.

Римская непозиционная система счисления Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000). Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных чисел называются аддитивными. В римской системе счисления базисными являются числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, которые обозначаются знаками I, V, X, L, C, D, M, а другие получаются путем сложения и вычитания базисных: если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются, если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой, например, 146 = 100 + (50 – 10) + (5 + 1) = CXLVI (C – 100, XL – 40, VI – 6), 1998 = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1 = MCMXCVIII.

Римская система счисления не является позиционной, так как значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа. Например, в числе XXXX (40) цифра Х встречается 4 раза и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10.

Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать любые числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков.

Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание Р.

В общем случае в позиционной системе счисления с основанием Р любое целое число N можно выразить в следующей форме:

N = am Р m-1 + am-1 Р m-2 + …+ ai Р i-1 + … + a3Р2 + a2Р1 + a1Р0, i = 0 m.

Далее такое число сокращенно записывается в виде:

Символ Р равен числу символов в алфавите данной системы счисления. В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

В каждой системе счисления есть знак для обозначения нуля. Поэтому наибольшее числовое значение знака в каждой системе равно Р – 1. Например, в десятичной системе (Р = 10) наибольшее значение равно девяти, а в двоичной (Р = 2) – единице.

Символы а1 – аm являются знаками или цифрами данной системы счисления и отражают значение каждого из m разрядов (позиций) числа, m – количество разрядов числа, а множители Рi определяют «вес» каждого разряда в данном числе. В привычной нам десятичной системе счисления «веса» разрядов справа налево, соответственно, равны 1, 10, 100, 1000 и т.д. Общее количество разрядов числа m теоретически неограниченно.

Наибольшее значение числа, которое может быть выражено в данной системе счисления при данном количестве разрядов m, Nmax = = Рm – 1.

В повседневной практике мы пользуемся почти исключительно десятичной системой счисления (Р = 10). Лишь в редких случаях встречаются другие системы счисления. Почему именно числу 10 отведена такая привилегированная роль? Причины, по которым именно десятичная система счисления оказалась общепринятой, нематематического характера. Десять пальцев рук – вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался, начиная с доисторических времен. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т.е. использовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу второго разряда). Десять десятков составляют единицу третьего разряда и т.д. Таким образом, именно счет по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам сейчас привычной. Десятичная система счисления далеко не сразу заняла то господствующее положение, которое она имеет сейчас. В разные исторические периоды многие народы пользовались системами счисления, отличными от десятичной.

Так, широкое распространение имела двенадцатеричная система. Ее происхождение связано тоже со счетом на пальцах, а именно: так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимается за единицу следующего разряда и т.д. В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших часто говорим «дюжина». Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. п.) очень часто считают именно дюжинами, а не десятками. Несомненные остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан: в системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам), в денежной системе (1 шиллинг = = 12 пенсам). До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и т.д.

С математической точки зрения двенадцатеричная система имела бы некоторые преимущества перед десятичной, поскольку число делится на 2, 3, 4 и 6, а число 10 – только на 2 и 5, а больший запас делителей у числа, служащего основанием системы счисления, делает ее более удобной в использовании.

В Древнем Вавилоне, культура которого, в том числе и математическая, была довольно высока, существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Эта система, как и двенадцатеричная, в какойто степени сохранилась и до наших дней (например, в делении часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд и в аналогичной системе измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам). В целом эта система, требующая шестидесяти различных цифр, громоздка и менее удобна, чем десятичная.

По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления. Связь этой системы со строением человеческой руки, первоначальной «счетной машины», очевидна.

У ацтеков и майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру, была принята двадцатеричная система. Та же двадцатеричная система была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Некоторые следы двадцатеричной системы кельтов сохранились в современном французском языке: например, «восемьдесят» по-французски будет quatrevingts, т. е. буквально «четырежды двадцать». Число 20 встречается и во французской денежной системе: основная денежная единица франк делится на 20 су.

Некоторые племена Африки и Австралии используют двоичную систему, Южной Америки – троичную, а маорийцы (Новая Зеландия) – одиннадцатеричную.

Из перечисленных выше систем счисления двенадцатеричная, пятеричная и двадцатеричная связаны с тем или иным способом счета по пальцам рук (или и рук, и ног), т. е. имеют подобно десятичной системе «анатомическое» происхождение.

Как показывают приведенные выше примеры, многочисленные следы этих систем счисления сохранились до наших дней и в языках многих народов, и в принятых денежных системах, и в системах мер.

Однако для записи чисел и для выполнения тех или иных вычислений мы чаще всего пользуемся десятичной системой. В индо-арабской десятичной системе счисления для записи любого числа используется 10 базисных цифр (от 0 до 9). Эта система основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда.

В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.

В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная, используемые при работе с ЭВМ.

Еще в 1673 г. немецкий философ и математик Лейбниц предложил использовать двоичную систему в качестве универсального логического языка. Для ЭВМ она особенно удобна, так как имеет несомненные технические и математические преимущества:

1) при ее аппаратной реализации можно использовать физические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.д.);

2) представление информации посредством только двух состояний особенно надежно и помехоустойчиво;

3) возможно применение стандартного аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований;

4) двоичная арифметика проще десятичной (таблицы сложения и умножения здесь предельно просты).

В двоичной системе счисления для изображения числа используются только два символа: 0 и 1, называемые двоичными цифрами (binary digits).

При записи чисел на бумаге использовать двоичную систему неудобно, так как они получаются слишком длинными (сравните, например, числа 513 и 1000000001). Для ЭВМ это не имеет особого значения.

Вместе с тем при тестировании аппаратных средств или отладке программ иногда возникает необходимость «заглянуть внутрь» электронной памяти, где вся информация представлена в виде длинных последовательностей нулей и единиц. Они очень неудобны для восприятия, поскольку все мы привыкли к более короткой десятичной записи. Кроме того, трудно сразу оценить величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц. Поэтому для удобства записи двоичных чисел используют системы счисления с основанием, представляющим собой степень двойки, прежде всего восьмеричную и шестнадцатеричную.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2 (21), 8 (23) и 16 (24). Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти арабских цифр и основание, равное 10, двоичная – две цифры и основание 2, восьмеричная – восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная – шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16. Полную информацию можно увидеть в таблице 1.

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 666. Цифра встречается трижды, причем самая правая цифра 6 обозначает шесть единиц, вторая справа – шесть десятков и, наконец, третья справа – шесть сотен.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, – количество десятков, еще левее – сотен, затем тысяч и т.д. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и т.д.

Число 657 записано в свернутой форме.

В развернутой форме число 657 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:

Таким образом, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Позиционные системы счисления являются аддитивно-мультипликативными. Особенно отчетливо аддитивно-мультипликативный способ образования чисел из базисных выражен в числительных русского языка, например, 568 (т.е. пять сотен плюс шесть десятков плюс восемь).

Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 783,63 в развернутой форме записывается следующим образом:

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:

Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами десятичного числа. Умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводят к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд, соответственно, вправо или влево.

Например:

По умолчанию основание системы счисления считается равным 10, то есть если основание не записано, то оно равно 10.

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.

Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:

Свернутая форма этого числа:

Умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд, соответственно, вправо или влево. Например:

Позиционные системы счисления с произвольным основанием Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием P (p-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, ……., p-1:

A p = an-1 *pn-1 + an-2 * pn-2 + … + ао * p 0 + a-1* p-1 +... + a-m * p–m.

Например, число A8 = 743,28 в развернутой форме будет иметь вид:

Число А16 = 7А,F16 в развернутой форме имеет вид:

Если выразить шестнадцатеричные цифры через их десятичные значения (А = 10, F = 15), то запись числа примет вид:

В шестнадцатеричной системе счисления базисными являются числа от 0 до 15. Из-за недостатка арабских цифр для обозначения базисных чисел, используют десять целых чисел от 0 до 9, а к остальным применяют буквенные обозначения A, B, C, D, E, F. Например, 175,510 = AF,8h. Для указания того, что число записано в 16-ричной системе счисления, в конце его добавляют число 16 или символ «H» или «h» (h – первая буква слова hexadecimal, т.е. шестнадцатеричный).

Например, Перевод чисел в позиционных системах счисления Перевод чисел в десятичную систему счисления Для преобразования чисел, представленных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, в десятичную необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение.

Рассмотрим примеры:

Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод чисел из одной системы счисления в другую может осуществляться различными способами. Рассмотрим один из алгоритмов перевода. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.

Общее правило перевода целых чисел. Переводимое число делят на основание Р-той системы счисления, в которую переводят, но основание Р должно быть выражено в системе переводимого числа.

Полученный остаток, меньший, чем основание Р, будет являться младшей цифрой числа в новой системе. Полученное частное снова делится на основание Р, и так далее делят частные до тех пор, пока последнее частное не будет меньше основания Р. Это последнее частное дает старшую цифру числа.

Пример 1. Перевести число 3110 в двоичную систему счисления.

Ответ: 3110 = 111112.

Пример 2. Перевести число 318 в систему счисления с основанием 3.

Ответ: 318 = 2213.

Пример 3. Перевести число 189 в систему с основанием 2.

Проверка правильности перевода:

Ответ: 189 = 101111012.

Пример 4. Перевести число 189 в восьмеричную систему.

Проверка правильности перевода:

Ответ: 189 = 2758.

Второй способ перевода целого числа из одной системы счисления в другую. Основание новой системы счисления Р переводится в систему счисления исходного числа. Затем осуществляется деление как в первом способе.

Пример 1. Перевести число 318 в десятичную систему счисления.

Ответ: 318 = 2510.

Пример 2. Перевести число 1111112 в десятичную систему.

1010 = Ответ: 1111112 = 6310.

Общее правило перевода правильных дробей. Переводимую дробь необходимо последовательно умножить на основание Р-той системы счисления, в которую она переводится (умножается только дробная часть). Дробь в новой системе счисления записывается в виде целых частей получающихся произведений. Так, первая целая часть, полученная в новой системе счисления, будет являться первой цифрой дробной части, вторая целая часть – второй цифрой и т.д. Умножение выполняется по правилам той системы, в которой дается исходное число. В качестве множителя берется основание новой системы счисления, записанное цифрами исходного числа. Умножение выполняется до тех пор, пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Пример 1. Перевести число 0,31810 в двоичную систему (точность до 5 знаков).

Ответ: 0,31810 = 0, Пример 2. Перевести число 0,53148 в систему с основанием (точность до 4 знаков).

Ответ: 0,53148 = 0,31415.

Пример 3. Перевести число 0,6875 в двоичную систему.

Проверка правильности перевода:

= 0, (1/2 +1/8 +1/16) = 0,687510.

Ответ: 0,6875 = 0, 10112.

Пример 4. Перевести число 0,6875 в систему с основанием 8.

Ответ: 0,6875 = 0, В качестве промежуточной системы счисления при переводе из одной в другую является десятичная система. Вначале число переводится из системы с основанием Р в 10-ю, затем из 10-й – в систему с нужным основанием.

Перевод чисел, содержащих и целую, и дробную части, производится в два этапа. Отдельно переводится по соответствующему алгоритму целая часть и отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть от дробной отделяется запятой.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно Перевод чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2 (Р = 2n), может производиться по более простым алгоритмам. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной (Р = 21), восьмеричной (Р = 23) и шестнадцатеричной (Р = 24) системами счисления.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решаем показательное уравнение:

где I – количество бит, так как 2 = 21, то I = 1 бит.

Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации.

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Решаем показательное уравнение:

так как 8 = 2, то I = 3 бита.

Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Правило перевода целого двоичного числа в восьмеричное.

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное, его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифр, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Для упрощения перевода можно воспользоваться таблицей преобразования двоичных триад (группы по три цифры) в восьмеричные цифры (табл. 2).

Таблица преобразований двоичных триад в восьмеричные цифры Пример. Перевести 1010012 в восьмеричную систему. Выберем соответствующие триады: 1010012 = 101 0012 = 518.

Правило перевода дробного двоичного числа в восьмеричное.

Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в восьмеричное необходимо разбить его на триады слева направо и, если в последней, правой группе окажется меньше трех цифр, дополнить ее справа нулями. Затем триады заменить на восьмеричные числа.

Пример. Перевести 0,1101012 в восьмеричную систему. Выберем соответствующие триады:

Получаем: 0,1101012 = 0, Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи.

Решаем показательное уравнение:

так как 16 = 2, то I = 4 бита.

Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации.

Правило перевода целого числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), начиная справа, и, если в последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями. Для перевода дробного двоичного числа (правильной дроби) в шестнадцатеричное необходимо разбить его на тетрады слева направо и, если в последней правой группе окажется меньше четырех цифр, то необходимо дополнить ее справа нулями. Затем преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру.

Для упрощения перевода можно воспользоваться таблицей преобразования двоичных тетрад (группы по четыре цифры) в шестнадцатеричные (табл. 3).

Таблица преобразований двоичных тетрад в шестнацатеричные Двоичные тетрады цифры Пример 1. Перевести 1010012 в шестнадцатеричное. Выберем соответствующие тетрады:

Получаем: 1010012 = 2916.

Пример 2.

Перевести 0,1101012 в шестнадцатеричное. Выберем соответствующие тетрады:

Получаем: 0,1101012 = 0,D416.

Правило перевода чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для того чтобы преобразовать любое двоичное число в восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления, необходимо произвести преобразования по рассмотренным алгоритмам отдельно для его целой и дробной частей.

и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную Правило. Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную необходимо цифры числа преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных цифр (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа – в группу из четырех цифр (тетраду).

Пример 1. Перевести 0,478 в двоичное. Выберем соответствующие триады:

Ответ: 0,478 = 0,1001112.

Пример 2.

Перевести АВ16 в двоичную систему счисления. Выберем соответствующие тетрады:

Ответ: АВ16 = 101010112.

Применение правил перевода целых чисел наглядно отражено в сводной таблице 4.

Сводная таблица переводов целых чисел из одной системы счисления в другую Арифметические операции в позиционных системах счисления Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же известным правилам, с которыми работаем в десятичной системе счисления. Рассмотрим арифметику двоичных и восьмеричных чисел.

Двоичная позиционная система счисления С помощью приведённой таблицы 5 арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Таблица арифметических операций в двоичной системе счисления Например, требуется найти сумму двух чисел. Операции выполним, соответственно, для десятичной системы.

При суммировании нескольких слагаемых необходимо следить за единицами переноса в старшие разряды, так как эти единицы могут переходить не только в соседние старшие разряды, но и выше.

Например:

Складывая первые разряды, получают число 4, которое является трехразрядным двоичным числом 100. Следовательно, в этом разряде будет 0, а перенос единицы делают в 3-й высший разряд. Во 2-м разряде получают 2, в этом случае перенос делают в соседний высший разряд. В 3-м разряде с учетом переноса двух единиц получается число 5, которое равно трехразрядному числу 101 в двоичной системе счисления, поэтому единицу в этом разряде оставляют, а 100 переносят через один разряд. В 4-м разряде получают 2, следовательно, оставляют 0, а единицу переносят в соседний высший разряд. В 5-м разряде получают 3, равное двухразрядному числу 11, единицу оставляют, а вторую единицу переносят в высший разряд. Для контроля правильности суммирования полученное число переводят в десятичное:

Примеры:

-------------------- -------Восьмеричная позиционная система счисления Все операции производятся по тем же правилам, по которым эти действия выполняются в десятичной системе счисления.

При выполнении операций сложения и вычитания удобно использовать восьмеричную таблицу сложения (табл. 6).

В верхней строке и левом столбце записаны восьмеричные слагаемые. Восьмеричная сумма находится в клетке на пересечении соответствующего столбца и строки.

При выполнении операции вычитания уменьшаемое находят на соответствующей диагонали таблицы, вычитаемое – на верхней строке, а восьмеричную разность находят по методу пересечения в левом столбце таблицы.

Используя таблицу, можно выполнять операции сложения и вычитания многоразрядных восьмеричных чисел. Рассмотрим примеры:

-------------Восьмеричная таблица умножения может быть представлена следующим образом (табл. 7).

Правило получения произведения двух одноразрядных чисел по этой таблице аналогично правилу получения суммы по восьмеричной таблице сложения.

С помощью приведенных восьмеричных таблиц сложения и умножения, пользуясь теми же правилами, которые применяются в десятичной системе счисления, производят умножение и деление многоразрядных восьмеричных чисел. Рассмотрим примеры.

В шестнадцатеричной системе счисления (Р = 16) для записи всевозможных чисел используются шестнадцать различных символов:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Шестнадцатеричные таблицы сложения и умножения составьте самостоятельно.

Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. В тех ЭВМ, в работе с которыми пользуются числами с фиксированной запятой, применяется естественная форма записи чисел, т. е. с постоянным количеством разрядов для целой и дробной части числа, следовательно, фиксация запятой одинакова для всех чисел.

Сложение и вычитание чисел с фиксированной точкой производятся по правилам обычного двоичного сложения и вычитания, так как результат операции не влияет на положение точки. Однако при выполнении умножения и деления необходимо осуществлять коррекцию положения точки.

Наличие дополнительных вычислений при представлении дробных чисел в формате с фиксированной точкой затрудняет расчеты на ЭВМ.

Недостатки формата с фиксированной точкой – слежение за положением точки и сравнительно небольшой диапазон представляемых чисел устраняются представлением чисел в формате с плавающей точкой. В этом формате разряды числа разбиваются на два поля, имеющих названия мантисса и порядок. Если обозначить мантиссу буквой М, а порядок букв – Р, то величина числа X = ±М ±Р. Эта запись является эквивалентом формы записи десятичных чисел X = М * 10Р, где М – множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а Р – целое число (порядок). Например: 200 = 2*102, 36000000000 = 36*109.

Для выделения положительных и отрицательных чисел в ЭВМ используется знаковый разряд, причем знак «+» обозначается цифрой 0, а знак «–» – цифрой 1.

Структура 16-разрядного числа в представлении с плавающей точкой и примеры даны в таблице 8.

Структура 16-разрядного числа с плавающей точкой Пример.

В последнем примере показано, что 16 разрядов могут представить достаточно большие числа.

Нормализованные и ненормализованные числа Если в первом разряде мантиссы стоит цифра, отличная от нуля (цифра после запятой), и мантисса меньше 1, число называют нормализованным, если же эта цифра – нуль, число называют ненормализованным.

В таблице 9 представлены обе формы записи.

Формы записи нормализованных и ненормализованных чисел Число Нормализованная форма Ненормализованная форма 0,18 * 102 = 0,10010*10101 0,018*103 = 0,010010* 18 = Кодирование чисел применяется для упрощения аппаратных средств современных вычислительных машин, так как их арифметические устройства не содержат специальных схем для выполнения вычитания. Операция производится тем же устройством, которое производит сложение, и называется сумматором. При этом вычитаемое должно быть преобразовано в специальный код.

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Положительные числа во всех кодах изображаются одинаково – двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Рассмотрим примеры:

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа – двоичный код его абсолютной величины. Рассмотрим примеры:

2. Обратный код получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины (модуля) числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы – нулями. Рассмотрим примеры:

Код модуля числа: 0 0000001 Код модуля числа: Обратный код числа: 1 1111110 Обратный код числа: 3. Дополнительный код получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Рассмотрим примеры:

Дополнительный код числа -1 Дополнительный код числа - Отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

1. Что такое система счисления?

2. Что представляет собой позиционная система счисления?

3. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных?

4. Может ли в качестве цифры использоваться символ буквы?

5. Какое количество цифр используется в Р-ичной системе счисления?

6. Как выполняются арифметические операции в восьмеричной системе счисления?

7. Как выполняются арифметические операции в шестнадцатеричной системе счисления?

8. Как выполняются арифметические операции в двоичной системе счисления?

9. Каков порядок перевода целых чисел из системы счисления с основанием Р (Р10) в десятичную систему счисления?

10. Каков порядок перевода правильных дробей из системы счисления с основанием Р (Р10) в десятичную систему счисления?

11. Каков порядок перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием Р (Р 10)?

12. Каков порядок перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием Р (Р 10)?

13. Каков порядок перевода неправильных дробей из одной системы счисления в другую?

14. Что представляют собой прямой, обратный и дополнительный коды, для чего они используются?

1. Записать числа 19,99; 10,102; 64,58; 39,F16 в развернутой форме.

2. Во сколько раз увеличатся числа 10,1; 10,12; 64,58; 39,F16 при переносе запятой на один знак вправо?

3. При переносе запятой на два знака вправо число 11,11х увеличилось в 4 раза. Чему равно х?

4. Какое минимальное основание может иметь система счисления, если в ней записаны числа 23 и 67?

5. Записать число 1999 в римской системе счисления.

6. Перевести в десятичную систему следующие числа: 1012, 1102, 1112, 78, 118, 228, lA16, BF16, 9C16.

7. Перевести целые десятичные числа 9, 17 и 243 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

8. Перевести десятичные дроби 0,2 и 0,35 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления с точностью до трех знаков после запятой.

9. Перевести десятичные числа 3,5 и 47,85 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления с точностью до трех знаков после запятой.

10. Составить таблицу соответствия двоичных триад и восьмеричных цифр, двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр.

11. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие целые числа: 11112; 10101012.

12. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие дробные числа: 0,011112; 0,101010112.

13. Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления следующие числа: 11,012; 110,1012.

14. Перевести в двоичную систему счисления следующие числа:

46,278; EF,1216.

15. Сравнить числа, выраженные в различных системах счисления: 11012 и D16, 0,111112 и 0,228, 35,638 и 16,С16.

16. Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 10102 и 102 и проверить правильность выполнения арифметических действий с помощью электронного калькулятора (в стандартных программах Windows: Пуск – Программы – Стандартные).

17. Сложить восьмеричные числа: 58 и 48, 178 и 418.

18. Провести вычитание шестнадцатеричных чисел: F16 и А16, и 1716.

19. Сложить числа: 178 и 1716, 418 и 4116.

20. Запишите отрицательные десятичные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах в 16-разрядном представлении (старший разряд знаковый):

Десятичные числа Прямой код Обратный код Индивидуальные задания (по вариантам) 1. Какие целые числа следуют за 2. Какие целые числа предшествуют 3. Переведите числа в десятичную 4. Переведите числа из двоичной сиссистему, проверьте результаты, темы в восьмеричную и шестнадцатевыполнив обратный перевод: ричную, проверьте результаты, выполDЕ,С816 нив обратный перевод:

5. Выполните операцию вычитания: 6. Умножьте числа, проверьте результаиз 101002 ты в десятичной системе:

4. 100012 из 1110,112 3. 1011,112 и 101,

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Логика – наука о законах и формах мышления. Математическая логика изучает любые рассуждения с помощью методов математики.

Математическая логика входит в группу фундаментальных наук, которые образуют теоретическую основу информатики.

Центральная идея математической логики восходит еще к Г.В. Лейбницу (1646-1716) и состоит в том, чтобы записывать математические утверждения в виде последовательностей символов и оперировать с ними по формальным правилам. При этом правильность рассуждений можно проверять механически, не вникая в их смысл.

Усилиями большого числа математиков и логиков второй половины XIX и первой половины XX века (Буль, Кантор, Фреге, Пеано, Рассел, Уайтхед, Цермело, Френкель, Гильберт, фон Нейман, Гёдель и другие) эта программа была в основном выполнена.

Английский математик Джордж Буль (1815-1864) впервые применил алгебраические методы для решения логических задач.

Алгебра логики – это раздел математической логики, значения всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует логическими высказываниями.

Логическое высказывание, предложение – это утверждение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. В исчислении высказываний не рассматриваются утверждения, имеющие значения, отличные от «истинно» и «ложно». Используется двузначная логика: ответ, отличный от «Да», есть «Нет». Древние философы назвали этот принцип «законом исключенного третьего».

Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением. Не каждое повествовательное предложение является логическим высказыванием. Высказыванием не является, например, предложение «Информатика – интересный предмет».

Примеры высказываний:

Сканер – устройство ввода в компьютер (истинно).

Дважды два – четыре (истинно).

Плоттер является устройством ввода в компьютер (ложно).

Высказывания делятся на простые и сложные (составные). Высказывание, содержащее одну простую законченную мысль, называется простым. Значение истинности простого высказывания не зависит от значений истинности каких-либо других высказываний. Сложные высказывания образуются из двух и более простых высказываний с помощью логических операций. Значение истинности сложного высказывания зависит от значений истинности других высказываний.

Простые высказывания являются логическими аргументами, а сложные – логическими функциями аргументов.

Пример. Сидорову 20 лет и он студент и не солдат.

Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».

В таблице 10 приводятся обозначения, используемые для логических связок (операций) в различной литературе.

Обозначения логических связок (операций) Наглядной иллюстрацией этих логических связок служат следующие диаграммы:

Простые высказывания обозначаются буквами латинского алфавита (A, B, C, …).

Истинное значение обозначают единицей (1) либо символом T (True – истина), а ложное – нулем (0) либо F (False – ложь), иногда заменяют словами «да» («yes»), «нет» («no»).

Отрицание высказывания является простым высказыванием.

Оно истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно (табл. 11).

Таблица истинности логического отрицания Таблица истинности – это табличное представление логической операции, в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Составное высказывание, образованное в результате логического умножения (конъюнкции, лат. conjunctio – соединение), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания (табл. 12).

Таблица истинности логического умножения Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции, лат. disjunctio – разделение) истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний (табл. 13).

Таблица истинности логического сложения Последовательность выполнения операций при отсутствии скобок в сложных логических формулах определяется старшинством операций (приоритетом). Наивысший приоритет имеет отрицание, затем следует конъюнкция и, наконец, дизъюнкция.

В алгебре логики выполняются основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений (табл. 14):

Коммутативности (переместительный) (распределительный) = (A · B) + (A · C) = (A + B) · (A + C) Операция переменАА = ной с её инверсией Закон коммутативности утверждает, что можно переставлять операнды при использовании конъюнкции или дизъюнкции. Это может показаться очевидным (в обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами), но имеются операторы вроде арифметического минуса, для которых это неверно: A-B отлично от B-A.

Закон ассоциативности позволяет расставлять скобки произвольным образом, если в логическом выражении используются только операции логического умножения или только операции логического сложения. В таких случаях можно вообще обойтись без скобок, так как закон ассоциативности гарантирует получение одного и того же результата независимо от того, как сгруппированы предложения.

Закон дистрибутивности. В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые.

Законы де Моргана. Отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний. Отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Эти свойства иногда выражают словами: «конъюнкция двойственна дизъюнкции».

Операция переменной с её инверсией. Закон непротиворечия: Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Логическое произведение высказывания и его отрицания ложно.

Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным – третьего не дано. Результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина».



Pages:   || 2 |
 




Похожие работы:

«ФГБОУ ВПО ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ОРЛОВСКИЙ ОТДЕЛ ГНУ ВНИИЭСХ СОВЕТ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ ООО НАУЧНАЯ КОМПАНИЯ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ ОБРАЗОВАНИЕ СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ СТУДЕНЧЕСКОЙ НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ АГРОБИЗНЕСА: ПРОБЛЕМЫ И РЕШЕНИЯ 29-30 МАЯ 2012 г. ФГБОУ ВПО...»

«ИСТОРИЯ НАУКИ Самарская Лука: проблемы региональной и глобальной экологии. 2014. – Т. 23, № 1. – С. 93-129. УДК 581 АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ УРАНОВ (1901 - 1974) © 2014 Н.И. Шорина, Е.И. Курченко, Н.М. Григорьева Московский педагогический государственный университет, г. Москва (Россия) Поступила 22.12.2013 г. Статья посвящена выдающемуся русскому ученому, ботанику, экологу и педагогу Алексею Александровичу Уранову (1901-1974). Ключевые слова Уранов Алексей Александрович. Shorina N.I., Kurchenko...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ, ИНФОРМАЦИИ И БИЗНЕСА С.И. КВАШНИНА, Н.А. ФЕДОТОВА ОСНОВЫ БИОЛОГИИ И ЭКОЛОГИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ДНЕВНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по высшему образованию в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 013400 Природопользование дневного и заочного отделений Ухта 2003 УДК: 57 (075.8) ББК: 28я7 К Квашнина С.И., Федотова Н.А....»

«Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное научное учреждение РОССИЙСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕЛИОРАЦИИ (ФГНУ РосНИИПМ) МЕРОПРИЯТИЯ ПО ОХРАНЕ ПОЧВ ОТ ЭРОЗИИ Научный обзор Новочеркасск 2010 УДК 631.459:504.5367 5 ББК 20.1 М 524 Научный обзор подготовлен сотрудниками ФГНУ РосНИИПМ: докторами сельскохозяйственных наук, профессорами Балакаем Г. Т., Полуэктовым Е. В.; кандидатами сельскохозяйственных наук Балакай Н. И., Бабичевым А. Н.,...»

«Министерство сельского хозяйства Российской Федерации ФГБОУ ВПО Уральская государственная академия ветеринарной медицины Разработка и внедрение новых технологий получения и переработки продукции животноводства 20 марта 2013 г. Материалы международной научно – практической конференции Троицк-2013 УДК: 631.145 ББК: 65 Р - 17 Разработка и внедрение новых технологий получения и переработки продукции Р - 17 животноводства20 марта 2013 г.,. / Мат-лы междунар. науч.-практ. конф.: сб. науч. тр.–...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФГБОУ ВПО Кубанский государственный аграрный университет Сафронова Т. И., Степанов В. И. Математическое моделирование в задачах агрофизики Краснодар 2012 УДК 631.452: 631.559 Рецензент: Найденов А.С. зав. кафедрой орошаемого земледелия КубГАУ, доктор сельскохозяйственных наук, профессор. Сафронова Т.И., Степанов В.И. Математическое моделирование в задачах агрофизики В пособии изложены основные принципы системного подхода к решению задач управления в...»

«УДК 575.222.5/.6:591.56:599.323.43 Кокенова Гульмира Толегеновна ВЛИЯНИЕ БРАЧНОГО ПОДБОРА И ДЛИТЕЛЬНОГО ИНБРЕДНОГО РАЗВЕДЕНИЯ НА РЕПРОДУКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТЕПНОЙ ПЕСТРУШКИ (Lagurus lagurus Pallas, 1773) 03.00.08 – зоология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Новосибирск – 2007 Работа выполнена в лаборатории экологических основ охраны...»

«ВАСИЛИНА ТУРСУНАЙ КАЖЫМУРАТОВНА Влияние органических и минеральных удобрений на плодородие лугово-каштановой почвы и продуктивность горчицы в плодосменном севообороте орошаемой зоны юго-востока Казахстана Диссертация на соискание ученой степени доктора философии (PhD) по специальности 6D080800 - Агрохимия и почвоведение Научные консультанты: доктор сельскохозяйственных наук, профессор Умбетов А.К.;...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО БЕЛГОРОДСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ИМ. В.Я. ГОРИНА МАТЕРИАЛЫ КОНФЕРЕНЦИИ БИОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ международная научно-производственная конференция (20 – 21 ноября 2012 г.) Белгород 2012 1 УДК 631.1 (061.3) ББК 40+65.9(2)32+60я431 М 33 Биологические проблемы природопользования. Материалы международной научно - производственной конференции. Белгород, 20 – 21 ноября 2012 г. Белгородская...»

«Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В.Лазаряна Блохин Евгений Петрович Серия Профессора ДИИТа УДК 625.1:378:001(092) ББК 39.211:74.58г П 84 П 84 Профессор Блохин Евгений Петрович [Текст] / Днепропетр. нац. ун-т ж.д. трансп. им. акад. В.Лазаряна. – Д.: Изд-во Днепропетр. нац. ун-т ж.д. трансп. им. акад. В.Лазаряна, 2013. -138с. – (Серия Профессора ДИИТа). Издание посвящается 85-летию со дня рождения доктора технических наук, профессора...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет им. С. М. Кирова (СЛИ) Кафедра электрификации и механизации сельского хозяйства ТРАКТОРЫ И АВТОМОБИЛИ С ОСНОВАМИ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов направления бакалавриата 250100 Лесное дело...»

«Игорь Ростиславович Шафаревич Русофобия Русофобия: Эксмо; 2005 ISBN 5-699-12332-6 Аннотация Русофобия, выдающегося мыслителя нашего времени И. Р. Шафаревича, вышла более двадцати лет назад. Она была вызвана потоком публикаций, враждебных России. С тех пор ситуация усугубилась. Сейчас русофобия поощряется на государственном уровне. Иначе как понять политику правительства страны, направленную на деградацию и вырождение русской нации. Русофобия, пожалуй, самая еврейская книга Шафаревича, вообще...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Актуальные проблемы генетики и молекулярной биологии в рамках фестиваля наук и МАТЕРИАЛЫ всероссийской молодежной конференции в рамках Федеральной целевой программы Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы (Уфа, Россия, 24-28 сентября 2012 г.) Уфа Башкирский...»

«Администрация Алтайского края Международный координационный совет Наш общий дом – Алтай Алтайский государственный университет Факультет политических наук Кафедра политологии Институт философии и права СО РАН Алтайский государственный технический университет Международная кафедра ЮНЕСКО Алтайский государственный аграрный университет Кафедра философии Алтайский краевой общественный фонд Алтай – 21 век Российский гуманитарный научный фонд ЕВРАЗИЙСТВО: теоретический потенциал и практические...»

«УДК 316.42(476)(082) В первом выпуске сборника представлены статьи ведущих белорусских и российских социологов, посвященные актуальным проблемам развития белорусского общества, социальной теории, методологии и методикам социологических исследований, а также материалы, содержащие результаты научных исследований сотрудников Института социологии за 2000–2009 гг. Посвящается 20-летию Института социологии НАН Беларуси. Рассчитан на студентов, аспирантов, профессиональных социологов, а также...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт–Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра воспроизводства лесных ресурсов ОБЩАЯ ЭКОЛОГИЯ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов специальности 280201 Охрана окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов всех форм...»

«УДК 574+595.143(470.51/.54) Черная Людмила Владимировна СРАВНИТЕЛЬНАЯ ЭКОЛОГО-ФИЗИОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ ГИРУДОФАУНЫ СРЕДНЕГО УРАЛА 03. 00. 16. - экология АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата биологических наук Екатеринбург - 2003 Работа выполнена в лаборатории экологических основ изменчивости организмов и биоразнообразия Института экологии растений и животных Уральского отделения РАН Научный руководитель : доктор биологических наук...»

«Министерство Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий _ Российская академия сельскохозяйственных наук Государственное научное учреждение Всероссийский научно-исследовательский институт сельскохозяйственной радиологии и агроэкологии _ РУКОВОДСТВО НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ РЕАБИЛИТАЦИИ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ТЕРРИТОРИЙ, ЗАГРЯЗНЕННЫХ РАДИОАКТИВНЫМИ ВЕЩЕСТВАМИ В РЕЗУЛЬТАТЕ КРУПНЫХ РАДИАЦИОННЫХ АВАРИЙ (проект) Обнинск- УДК 631.95:577....»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕРИАЛЫ ХІV МЕЖДУНАРОДНОЙ СТУДЕНЧЕСКОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ (Гродно, 16 мая 2013 года) ЭКОНОМИКА Гродно ГГАУ 2013 УДК 631.15(06) 338.439(06) ББК 65.32 М 33 Материалы ХІV Международной студенческой научной конференции. – Гродно, 2013. – Издательско-полиграфический отдел УО ГГАУ. – 373...»

«Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Т.Ю. Новикова, Г.А. Королева Аудит основных видов деятельности Учебное пособие Ярославль 2002 ББК У053я73 Н73 Рецензент: кафедра бухгалтерского учета и аудита МЭСИ; канд. экон. наук, доц. В.А. Юрлов. Новикова Т.Ю., Королева Г.А. Аудит основных видов деятельности: Учебное пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2002. 92 с. ISBN 5-8397-0228-5 Пособие включает краткий конспект лекций, контрольные...»






 
© 2013 www.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.