WWW.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Pages:   || 2 |

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА для студентов ФИТО Методические указания к решению задач и варианты для самостоятельной работы ПЕНЗА 2007 ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

для студентов ФИТО

Методические указания к решению задач

и варианты для самостоятельной работы

ПЕНЗА 2007

УДК 531. 07.

Т

Теоретическая механика для студентов ФИТО: Методические

указания к решению задач и варианты для самостоятельной работы. –

Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007. – 115 с.: 32 ил., 8 табл., библиогр.

10 назв.

Составители: Смогунов В.В., Вдовикина О.А., Хураева Т.В., Широков И.Б.

Под общей редакцией Смогунова В.В.

Методические указания составлены с учетом опыта преподавания

курса «Теоретическая механика» в Пензенском государственном университете согласно Государственным образовательным стандартам.

Представлен краткий теоретический материал по темам курса, примеры решения задач и варианты для самостоятельной работы.

Приведены примерные тесты по разделам дисциплины.

Методические указания предназначены для студентов ФИТО машиностроительных, приборостроительных специальностей и специальностей сервиса оборудования, изучающих теоретическую механику.

Р е ц е н з е н т ы:

Доктор технических наук, профессор Пензенского артиллерийского инженерного института А.И.Богомолов Доктор технических наук, Заведующий кафедрой «Высшая математика и теоретическая механика» Пензенской сельскохозяйственной академии В.А. Мачнев УДК 531. 07.

Издательство Пензенского государственного университета, Содержание стр.

Векторный способ задания движения точки……………………….. Кинематика твердого тела. Поступательное и вращательное движения твердого тела (простейшие движения)……………………… Плоскопараллельное движение твердого тела ……………………... Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки в сложном движении……………………………………………… Тесты по разделу «Кинематика»…………………………………… Равновесие плоской системы сил…………………………………… Равновесие системы произвольно расположенных сил (пространственной системы сил)………………………………………. Тесты по разделу «Статика»………………………………………… Дифференциальные уравнения движения твердого тела………… Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы…………………………… Тесты по разделу «Динамика»……………………………………….. Литература………………………………………………………………... Векторный способ задания движения точки При векторном способе задания движения материальной точки ее положение в пространстве в любой момент времени задается радиусвектором r, выходящим из начала координат. Движение материальной точки считается полностью заданным, если известна функция изменения радиус-вектора в зависимости от времени:

r = r (t ).

r Произвольный радиус-вектор может быть разложен по единичному базису i, j, k в декартовой системе координат:

r = rx i + ry j + rz k, где rx, ry, rz – проекции радиус-вектора на оси координат.

Проекции радиус-вектора на оси декартовых координат в любой момент времени представляют собой координаты материальной точки x, y и z. Следовательно:

определяется дифференцированием по времени функции изменения радиус-вектора (первая производная):

дифференцированием по времени функции изменения вектора скорости (первая производная) или как вторая производная от функции изменения радиус-вектора:

Пример 1. Материальная точка движется в плоскости, определяемой осями x и y. Законы изменения координат точки (в метрах) от времени (в секундах) описываются функциями:

Требуется: 1. Построить траекторию точки. 2. Найти функции изменения радиус-вектора точки, вектора скорости и вектора ускорения. 3.

Построить радиус-вектор, вектор скорости и вектор ускорения точки для моментов времени t0 = 0, t1 = 0,785 с, t2 = 1,57 с и t3 = 3,14 с и определить числовые значения скорости и ускорения для указанных моментов времени.

Решение. 1. Движение точки задано параметрическим способом. Для определения формы траектории исключим параметр t из уравнений движения и получим функцию, связывающую координаты точки x и y.

Выполним преобразования функций (1) и (2) и сложим почленно левые и правые части преобразованных функций:

Полученное уравнение является каноническим уравнением эллипса с одинаковыми полуосями, т.е. уравнением окружности радиусом 5 м с центром в начале координат (рис. 1).

единичному базису i и j в декартовой системе координат:

Проекции искомого радиус-вектора на координатные оси в любой момент времени определяются значениями функций x и y. Следовательно, функция изменения радиус-вектора точки для заданного движения будет иметь вид:

дифференцированием по времени функции изменения радиус-вектора:

дифференцированием по времени функции изменения вектора скорости:

3. Для определения значений векторов в определенные моменты времени подставим соответствующие значения времени t в формулы (3)…(5). В момент времени t0 = 0 значения функций радиус-вектора точки, вектора скорости и вектора ускорения принимают вид соответственно:

Значение момента времени t1 = 0,785 с примерно соответствует числу 4. Значения функций радиус-вектора точки, вектора скорости и вектора ускорения принимают вид соответственно:

Значение момента времени t2 = 1,57 с примерно соответствует числу 2. Значения функций радиус-вектора точки, вектора скорости и вектора ускорения принимают вид соответственно:

Значение момента времени t3 = 3,14 с примерно соответствует числу. Значения функций радиус-вектора точки, вектора скорости и вектора ускорения принимают вид соответственно:

Все полученные значения векторов для момента времени t3 = 3,14 с полностью совпадают со значениями, полученными для момента времени t0 = 0.

Радиус-векторы материальной точки в различные моменты времени показаны на рис. 1. На рис. 2 приведено графическое решение задачи.

показывает, что траекторией точки является окружность с центром в начале координат, т.к. модуль радиус-вектора сохраняет постоянное значение r = 5 м. Точка описывает полную окружность за время t = 3,14 с.

Скорость точки постоянна по величине и равна v = 10 м/с, вектор скорости во все рассматриваемые моменты времени направлен по касательной к траектории. Вектор скорости меняет при движении свое направление, поэтому для всех моментов времени определено ускорение, которое сохраняет постоянное значение a = 20 м/с2, вектор ускорения во все рассматриваемые моменты времени направлен к центру кривизны траектории.

Варианты задания для самостоятельной работы приведены в табл. 1.

Номер Кинематика твердого тела. Поступательное и вращательное движения При поступательном движении твердого тела любая прямая, проведенная в теле через две его точки, остается параллельной самой себе.

Траектории всех точек тела совпадают при наложении, все точки тела имеют в любой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и одинаковые ускорения. Поэтому при исследовании поступательного движения твердого тела можно ограничиться рассмотрением движения центра масс этого тела.

При вращательном движении остаются неподвижными точки тела, лежащие на оси вращения, а все остальные точки тела движутся по окружностям с центрами на оси вращения. Закон движения представляет собой функцию изменения от времени угла поворота тела = (t ).

Вращательное движение тела характеризуется угловой скоростью = и угловым ускорением =.

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии r от оси вращения, определяется по формуле Если два зубчатых колеса находятся в зацеплении или охватываются ремнем, то линейные скорости точек касания этих колес одинаковые:

Ускорение точки вращающегося тела определяется по вращательной и центростремительной составляющим Модуль вращательного ускорения точки определяется по формуле a вр = r, центростремительного – по формуле a ц = 2 r.

Вектор центростремительного уравнения направлен от точки к оси вращения (по радиусу), вектор вращательного ускорения – по касательной к траектории от точки в сторону, указываемую направлением дуговой стрелки углового ускорения.

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях Пример 3. Рейка 4, ступенчатое колесо 2 с радиусами R2 и r2, ступенчатое колесо 1 с радиусами R1 и r1 и ступенчатое колесо 3 с радиусами R3 и r3 находятся в зацеплении, на шкив радиуса r3 намотана нить с грузом 5 на конце (рисунок 3). Угловая скорость колеса изменяется по закону 1=f(t).

Дано: r1=2 м, R1=4 м, r2=6 м, R2=8 м, r3=12 см, R3=16 м, 1 = 5t 2t 2, t1=2 c.

Определить: v5, vB, 2, aC, a4 в момент времени t=t1.

Решение. Зубчатые колеса 1 и 2 связаны ременной передачей.

Поскольку ремень считается гибким и нерастяжимым, скорости всех точек ремня одинаковы (в том числе точек, принадлежащих колесам 1 и 2):

Определим скорость, передаваемую от колеса 1 колесу 2 в точку B:

Зная скорость точки B колеса 2, можно определить угловую скорость 2 вращения колеса 2 и угловое ускорение 2 колеса 2:

Зубчатое колесо 2 и зубчатая рейка 4 находятся в зацеплении, поэтому скорости точек касания этих тел одинаковые. Определим скорость точек соприкосновения колеса 2 и рейки 4 с учетом (2):

Рейка 4 движется поступательно, поэтому, зная закон изменения скорости рейки, можно сразу определить ее ускорение:

Колеса 3 и 1 находятся во внешнем зацеплении, поэтому скорости точек их соприкосновения одинаковы в любой момент времени откуда находим Груз 5 прикреплен к концу нерастяжимой нити, которая сходит с внутреннего обода колеса 3, следовательно, скорости точек центра масс груза 5 и внутреннего обода колеса 3 одинаковы, поэтому с учетом (5) получаем формулу для определения скорости тела 5:

Точка C принадлежит вращающемуся телу 3, поэтому ее полное ускорение является геометрической суммой вращательного и центростремительного ускорений:

Вращательное ускорение точки C определим по формуле:

Центростремительное ускорение точки C определим по формуле:

Значения искомых величин v5, vB, 2, aC, a4 в момент времени t1 = 2 с определим в соответствии с полученными формулами.

Скорость точки B в соответствии с формулой (1) равна:

Скорость тела 5 в соответствии с формулой (6) равна:

Угловое ускорение колеса 2 в соответствии с формулой (3) равно:

Предварительно по формулам (8) и (9) определим значения вращательного и центростремительного ускорений:

Полное ускорение точки C равно:

aC = (4,5) 2 + (0,375) 2 = 4,52 м/с2.

Ускорение рейки 4 определим по формуле (4):

Векторы скорости тела 4 и ускорения тела 5, скорости точки В и ускорений точки С, а также направления угловых скоростей и ускорений колес 1…3 показаны на рисунке 3.

Значение угловой скорости тела 1, заданное по условию, в момент времени t1 = 2 с – положительное направление угловой скорости тела 1 против хода часовой стрелки (см.

рис. 3). Направления угловых скоростей других колес покажем с учетом этого направления. Векторы скоростей тела 4 и точки B покажем также с учетом направлений вращения.

Значение углового ускорения тела 2 получилось отрицательным.

положительное ( 2 = (5 2 2 2 2 ) = 1с ), направление дуговой стрелки 2 покажем в направлении, противоположном 2. Направления угловых ускорений других колес также будут противоположны направлениям соответствующих угловых скоростей. Векторы ускорения тела 5 и вращательного ускорения точки C покажем с учетом этих направлений.

Вектор центростремительного ускорения точки C направлен от точки C к оси вращения колеса 3. Вектор полного ускорения точки C изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах aC и aC как на сторонах.

aC = 4,52 м/c2.

Пример 4. Движение груза 1 (рис. 4) должно описываться уравнением где t – время, с; С0…С2 – некоторые постоянные.

В начальный момент времени ( t0 = 0 ) координата груза должна быть равна х0, а его скорость должна иметь значение v0.

Кроме того, необходимо, чтобы координата груза в момент времени t = t 2 была равна х2.

Определить скорость и ускорение точки М одного из колёс механизма для момента времени t = t1.

Дано: схема механизма (см. рис. 4);

R3 = 0,65 м, r3 = 0,4 м.

Начальные условия: t0 = 0 ; x0 =0,14 м; v0 =0,05 м/с.

Граничные условия: t2 = 2 с; x2 = 1,68 м.

Найти скорость и ускорение точки М в момент времени t1 = 1 с.

Решение. Уравнение движения груза 1 имеет вид Коэффициенты C0, C1 и C2 могут быть определены из начальных и граничных условий: поскольку уравнение движения (1) справедливо для любого момента времени, то для момента начала движения ( t0 = 0, x0 = 0,14 м) должно выполняться соотношение Для момента времени t2 = 2 с ( x2 = 1,68 м) должно выполняться соотношение Поскольку закон движения груза 1 задан координатным способом, скорость груза определяется как первая производная по времени от закона движения Этот закон изменения скорости справедлив для любого момента времени, в том числе и для начального ( t0 = 0, x0 = 0,05 м/с) Подставляя значения t0 = 0, x0 = 0,14 см в формулу (2), находим коэффициент С0 :

откуда находим С0 = 0,14 м.

Подставляя значения t0 = 0, x0 = 0,05 м/с в формулу (5), находим коэффициент С1 :

откуда находим С1 = 0,05 м/с.

Подставляя значения t2 = 2 с, x2 = 1,68 м в формулу (3), находим коэффициент С2 :

откуда находим С2 = 0,36 м/с2.

Таким образом, с учетом найденных значений постоянных C0, C1 и C2 уравнение движения груза 1 имеет вид:

х = 0,36t2 + 0,05t + 0,14.

Закон изменения скорости груза 1 в соответствии с (4) имеет вид:

Ускорение груза 1 равно:

Скорость точки M должна определяться по формуле Запишем уравнения кинематических связей, то есть приравняем скорости точек механизма, в которых происходит передача движения от одного тела к другому. В соответствии со схемой механизма откуда из второго уравнение системы (8) определяем 3 = 2 R2 R3, из первого уравнения системы (8) определяем 2 = v r2, следовательно:

или после подстановки (6) Угловое ускорение колеса 3 равно Скорость точки M может быть определена в любой момент времени по формуле (7) vM = (2,215t + 0,154)r3.

При t1 = 1с скорость точки M равна:

Вращательное, центростремительное и полное ускорения точки М определяются по формулам:

В результате вычислений для заданного момента времени ( t1 = 1с) получаем aM = 0,886 м/с2; a M = 2,24 м/с2; aM = 2,41м/с2.

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 5.

Ответ: vM = 0,77 м/с; aM = 2,41 м/с2.

Необходимые для самостоятельного решения данные приведены в табл. 2, а схемы механизмов показаны на рис. 6.

варианта Рис. 6. Начало Плоскопараллельное движение твердого тела При плоскопараллельном движении все точки тела движутся в одной плоскости. Плоскопараллельное (плоское) движение можно считать складывающимся в любой момент времени из поступательного движения вместе с некоторой точкой, принятой за полюс, и вращательного движения вокруг оси, проходящей через полюс. Вращательная часть плоского движения от выбора полюса не зависит и характеризуется угловой скоростью вращения.

Скорость любой точки плоской фигуры ( vM ) определяется как геометрическая сумма вектора скорости полюса ( vP ) и вектора скорости, приобретаемой точкой во вращательной части плоского движения вокруг полюса ( vMP ) В любой момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой (точки) равна нулю – мгновенный центр скоростей (МЦС). Если выбрать МЦС за полюс, то скорость любой точки плоской фигуры можно определить в простейшем вращательном движении тела вокруг МЦС. Расстояние от точки до МЦС – мгновенный радиус вращения. Геометрически МЦС находится на пересечении перпендикуляров к скоростям всех точек тела, восстановленных в точках приложения.

Ускорение любой точки плоской фигуры ( aM ) складывается геометрически из ускорения полюса ( a P ) и ускорения, приобретаемого точкой при вращении тела вокруг полюса ( aMP ) Движение полюса в общем случае характеризуется касательным и нормальным ускорениями При движении полюса по прямой линии нормальное ускорение равно нулю.

Ускорение точки во вращательном движении характеризуется вращательным и центростремительным ускорениями Таким образом, ускорение точки плоской фигуры определяется по формуле Пример 5. Механизм (рисунок 7) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О шарнирами.

l2 = 1,2 м, l3 = 1,4 м, l4 = 0,6 м, 1 = 5 с-1, 1 = 8 с-2.

Решение. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. 7). Звенья 1 и 4 механизма совершают простейшее вращательное движение, звенья 2 и 3 – плоское, ползун B движется поступательно.

1. Определим скорость точки A как скорость точки, принадлежащей направления угловой скорости 1.

Точка B принадлежит одновременно звену 2 и ползуну и в силу наложенных связей может двигаться только вдоль направляющих, следовательно, вектор скорости точки B может быть направлен только горизонтально. Для определения скорости точки B найдем положение перпендикуляров к векторам скоростей v A и vB, восстановленных в точках A и B соответственно (точка C2).

Определим угловую скорость вращения звена 2 относительно его МЦС, зная скорость точки A и вычислив расстояние C2A от точки A до Направление AB покажем вокруг МЦС с учетом направления вектора v A.

Определим скорость точки B, вычислив расстояние C2B от точки B до МЦС: C2 B = AB sin 60° = 1,2 sin 60° = 1,039 м ;

Направление вектора vB покажем с учетом направления AB.

Точка D также принадлежит звену 2, следовательно, ее скорость можно определить относительно МЦС звена 2, вычислив расстояние C2D vD = 3,333 0,6 = 2 м / с. Покажем вектор скорости точки D ( vD C2 D ) с учетом направления AB.

Одновременно точка D принадлежит звену 3, совершающему плоское движение. Точка E, также принадлежащая звену 3, в силу наложенных на нее связей может двигаться только по окружности радиусом O2E, следовательно, вектор скорости точки E обязательно будет перпендикуляров к векторам скоростей vD и vE, восстановленных в точках D и E соответственно (точка C3). Определим угловую скорость звена 3 DE относительно его МЦС, вычислив расстояние C3 D из треугольника C3 DE :

Следовательно:

Направление DE покажем вокруг МЦС звена 3 (точка C3) с учетом направления вектора vD.

Скорость точки E определим относительно МЦС звена 3, вычислив расстояние C3 E из треугольника C3 DE :

Следовательно:

принадлежит звену 2, совершающему плоское движение. Выберем за полюс точку A, так как ускорение этой точки можно определить в данном положении механизма точно:

где a A = a A + a A – ускорение полюса; a BA = a BA + a BA – ускорение, получаемое точкой B при вращении плоской фигуры вокруг полюса:

Проведем через точку B оси координат Bxy таким образом, чтобы одна ось (Bx) была направлена вдоль вектора вращательного ускорения aBA, а другая (By) – вдоль вектора центростремительного ускорения a BA, и спроецируем равенство a B = a A + a A + a BA + a BA на эти оси соответственно:

з второго равенства находим Из первого равенства определяем AB :

= 42,202 cos 30° + 10 cos 30° 3,2 sin 30°;

a BA = 29,487м / с 2 (знак «минус» означает, что направление вектора aBA противоположно выбранному);

Пример 6. Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.

Дано: схема механизма в заданном положении (рис. 9); OA = 0,10 м, AB = 0,60 м, AC = 0,20 м, OA = 1,5 с-1, OA = 2,0 с-2.

Решение. 1. Определение скоростей точек и угловой скорости звена (рис. 10).

совершает вращательное движение, ползун B движется поступательно, одновременно кривошипу и шатуну.

Вычисляем модуль скорости пальца А кривошипа ОА в простейшем вращательном движении при заданном положении механизма:

Вектор скорости точки А v A перпендикулярен кривошипу ОА.

Точка B принадлежит одновременно шатуну AB и ползуну B. Вектор скорости ползуна В в силу наложенных связей может быть направлен только по вертикали.

Мгновенный центр скоростей РАВ шатуна AВ, совершающего плоское движение, находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных из точек А и В к векторам их скоростей.

Угловая скорость звена АВ равна:

Модули скоростей точек В и С соответственно равны:

Расстояния АРАВ, ВРАВ и СРАВ определяются из рассмотрения треугольников АВРАВ и АСРАВ:

В соответствии с этими значениями по формулам (1)…(4) определяем скорости:

A =15,0 см/с; AB = 0,29 рад/с; B = 8,7 см/с; C = 10,5 см/с.

Направление угловой скорости мгновенного вращения шатуна AB соответствует вектору скорости точки A. Векторы скоростей точек B и c соответствующие направлению мгновенного вращения шатуна АВ.

2. Определение ускорений точек и углового ускорения звена (рис. 11).

Точка B одновременно принадлежит шатуну, совершающему плоское движение, и ползуну, совершающему поступательное движение.

Выберем за полюс точку A, так как ускорение этой точки можно определить в данном положении механизма точно. Ускорение точки А складывается из касательного (вращательного) и нормального (центростремительного) ускорений:

По исходным данным определяем модули ускорений:

a = OAOA = 20 см/с2; a n = OAOA = 22,5 см/с2.

Вектор a A направлен от A к О. Вектор a A перпендикулярен вектору a A и направлен в сторону, определяемую направлением дуговой стрелки углового ускорения кривошипа OA, т.е. противоположно А (в данное мгновение вращение кривошипа ОА – замедленное).

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры:

где a A = a A + a A – ускорение полюса; a BA = a BA + a BA – ускорение, получаемое точкой B при вращении шатуна AB вокруг полюса A.

Следовательно:

Модуль центростремительного ускорения точки В во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А равен:

Модуль вращательного ускорения определяется по формуле:

Вектор a BA направлен от В к А. Что касается направлений вектора ускорения а В точки В и вектора вращательного ускорения a BA, то известны только линии действия этих векторов: a В – по вертикали вдоль перпендикулярно АВ.

Зададимся произвольно их направлениями по указанным линиям (рис. 11, а).

Проведем через точку B оси координат Bxy таким образом, чтобы одна ось (Bx) была направлена вдоль вектора центростремительного ускорения a BA, а другая (By) – вдоль вектора вращательного ускорения a BA, и спроецируем равенство (5) на эти оси соответственно.

Модули ускорений a В и a BA определим из уравнений проекций векторного равенства (5) на оси координат. Знак в ответе покажет, соответствует ли истинное направление вектора принятому при расчете.

Выбрав направление осей х и у, как показано на рис. 11,а, получаем:

Из уравнения (6) находим Вектор ускорения a В направлен так, как показано на рис. 11,a.

Из уравнения (7) получаем Направление вектора aBA противоположно показанному на рис. 11,a.

Вектор ускорения a В и все его составляющие с учетом их истинных направлений и масштаба показаны на рис. 11, б.

Угловое ускорение шатуна АВ определим по формуле С учетом того, что здесь a BA – алгебраическая величина, угловое ускорение шатуна равно:

Вычисляя, находим Направление вектора вращательного ускорения точки B шатуна ( a BA ) относительно полюса А определяет направление дуговой стрелки углового ускорения ускорения противоположно направлению вращения (угловой скорости) шатуна, следовательно мгновенное движение шатуна – замедленное.

Точка C принадлежит шатуну AB, угловая скорость и угловое соответствии с формулой (5):

Вращательное и центростремительное ускорения точки С во вращательном движении шатуна АВ вокруг полюса А определяются по формулам:

С учетом заданных размеров и полученных значений кинематических характеристик движения шатуна aСA = 6,8 см/с2, aСA = 1,7 см/с2.

Вектор aСA направлен от С к А, вектор aСA перпендикулярен вектору aСA и направлен соответственно дуговой стрелке углового ускорения АВ.

Поскольку все слагаемые векторы в уравнении (8) известны точно по модулю и направлению, ускорение точки С находим по проекциям на координатные оси Bx и By (см. рис. 11,а):

аСу = 21,8 см/с2; аС = 24,5 см/с2. Проекции вектора ускорения точки C показаны на рис. 11, в.

Ответ: B = 8,7 см/с; C = 10,5 см/с; AB = 0,29 рад/с; аВ= 16,7 см/с2;

аС = 24,5 см/с2.

Варианты заданий для самостоятельной работы приведены в табл. и на рис. 12. Необходимые для расчета данные приведены в табл. 3, а схемы механизмов помещены на рис. 12.

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.

Номер Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения В сложном движении точка выполняет одновременно два движения – относительное и переносное. Относительное движение материальной точки – это движение по некоторой траектории, расположенной на поверхности движущегося тела. Переносное движение – это движение, которое сообщает материальной точке та точка поверхности движущегося тела, с которой в данное мгновение она совпадает.

абсолютное ускорение материальной точки относительно неподвижной системы координат. В соответствии с теорией сложного движения вектор абсолютной скорости материальной точки равен геометрической сумме векторов относительной и переносной скоростей:

кориолисова ускорений:

Для решения задач на сложное движение материальной точки необходимо исследовать относительное и переносное движения точки.

Относительное движение точки может быть задано естественным способом – законом изменения дуговой координаты s = s (t ).

Необходимо выбрать на траектории относительного движения начало отсчета, направление положительного отсчета дуговой координаты (направление касательной), а затем вычислить значение дуговой координаты в заданный момент времени и изобразить материальную точку на траектории с учетом знака результата.

Скорость точки при естественном способе задания движения определяется дифференцированием закона движения по времени Вектор относительной скорости следует показывать по касательной к траектории относительного движения с учетом знака результата дифференцирования для заданного момента времени.

Ускорение точки при естественном способе задания относительного движения определяется по двум составляющим – касательному aотн и нормальному aотн ускорениям:

Касательное ускорение при естественном способе задания движения определяется как вторая производная по времени от закона движения:

Вектор касательного ускорения следует показывать по касательной к траектории относительного движения с учетом знака результата дифференцирования в заданный момент времени.

Нормальное ускорение при естественном способе задания движения определяется по формуле:

где – радиус кривизны траектории в данной точке.

Вектор нормального ускорения направлен от точки к центру кривизны траектории относительного движения. Если траектория относительного движения – прямая линия, нормальное ускорение равно нулю.

Переносное движение обычно задается законом вращения твердого тела пер = (t ). Направление положительного отсчета угла поворота указывается на схеме. Траектория материальной точки в переносном движении расположена в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и представляет собой окружность с центром на оси вращения (если переносное движение – вращательное).

Для исследования переносного движения, прежде всего, необходимо определить радиус траектории переносного движения точки. Тогда скорость переносного движения можно определить по формуле:

где пер – угловая скорость вращения тела в данный момент времени, которая численно определяется дифференцированием по времени закона переносного вращения пер = пер.

Направление дуговой стрелки угловой скорости переносного выбранного направления показывают и вектор переносной скорости материальной точки по касательной к траектории переносного движения.

Ускорение переносного движения материальной точки определяется ускорениями, т.к. это ускорение сообщает материальной точке некоторая точка вращающегося тела:

Вращательное ускорение находят по формуле:

где пер – угловое ускорение переносного движения ( пер = пер = пер ).

Вектор вращательного ускорения переносного движения следует показывать по касательной к траектории переносного движения с учетом направления углового ускорения.

Центростремительное ускорение переносного движения находят по формуле:

Вектор центростремительного ускорения всегда направлен от точки к центру кривизны траектории переносного движения.

Кориолисово ускорение характеризует изменение относительной относительном движении. Модуль кориолисова ускорения определяется по формуле:

где – угол между направлениями векторов относительной скорости и угловой скорости переносного движения. В плоских задачах = 90o.

Направление кориолисова ускорения удобно определять по правилу Жуковского: направление кориолисова ускорения указывает вектор относительной скорости, повернутый в сторону переносного вращения на 90о в плоскости траектории переносного движения.

Кинематические характеристики относительного движения могут иметь индекс «r», а переносного движения – индекс «e».

Пример выполнения задания. Пластина (рис. 13) вращается вокруг оси x по закону e = e (t ). По краю пластины вдоль прямой BD движется точка M по закону sr = AM = sr (t ). Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M в заданный момент времени t.

Дано: e = 4t рад; sr = 0,6(t 3 2t 2 ) см; в=0,20 м.

Найти абсолютную скорость V и абсолютное ускорение a точки М в момент t = 1c.

Рассмотрим движение точки M как сложное, считая ее движение вдоль края пластины относительным, а вращение плаcтины – переносным.

Тогда абсолютная скорость vабс и абсолютное ускорение aабс найдутся по формулам (1) и (2) соответственно.

1. Относительное движение. Это движение прямолинейное и происходит вдоль прямой BD по закону S = АМ = 60(t 3 2t 2 ). Движение задано естественным способом. Выберем начало отсчета дуговой координаты в точке A. Направление положительного отсчета дуговой координаты выберем в направлении точки D. В момент времени t = 1 с значение дуговой координаты равно Знак минус означает, что в данный момент времени точка M находится слева от начала отсчета.

Относительная скорость точки M равна Относительное ускорение точки M равно Знаки указывают, что вектор v r направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты sr, а вектор ar – в сторону положительного отсчета.

2. Переносное движение. Это движение вращательное и происходит по закону e = 4t.

Найдем угловую скорость e и угловое ускорение e переносного вращения:

Знаки указывают, что в момент t = 1 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла e.

Найдем расстояние OM точки M от оси вращения x:

Переносная скорость точки M равна Вектор переносной скорости направлен перпендикулярно отрезку OM (радиусу вращения) в сторону вращения пластины.

Переносное ускорение точки M определим по вращательной и центростремительной составляющим:

Вектор aeц направлен из точки M к центру вращения O.

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между вектором vr и вектором e (совпадающим с осью вращения) равен 900, то численно в Направление aкор найдем по правилу Жуковского. Для этого вектор vr повернем на 90 в сторону вращения (против хода часовой стрелки).

Вектор aкор направлен вертикально вниз.

4. Определение vабс. Так как векторы vr и ve направдены под углом 45о друг относительно друга, то модуль абсолютной скорости vабс определим по теореме косинусов vабс = ve + vr + 2ve vr cos 45o = 3,36 2 + 0,6 2 + 2 3,36 0,6 0,707 = 3,81 м/с.

aабс = ar + aeвр + aeц + aкор. Для определения aабс вычислим проекции вектора aабс на оси y и z.

Ответ: vабс =3,81 м/с; aабс =17,86 м/с2.

Необходимые данные для расчета приведены в табл. 4, а схемы механизмов показаны на рис. 14.

а/ Дидактическая единица: Кинематика точки 1. Ускорение точки характеризует:

а) изменение вектора скорости по величине;

б) изменение вектора скорости по направлению;

в) изменение вектора скорости по величине и направлению.

2. При векторном способе задания движения материальной точки ее положение в пространстве в любой момент времени задается:

а) декартовыми координатами;

б) дуговой координатой;

в) радиус-вектором.

3. При естественном задании движения траектория в малых окрестностях точки может рассматриваться как плоская кривая, целиком расположенная в соприкасающейся плоскости, определяемой двумя осями естественного трехгранника:

а) касательной и главной нормалью n;

б) касательной и бинормалью b;

в) главной нормалью n и бинормалью b.

4. Мгновенное значение скорости точки при координатном способе задания определяется по формулам:

5. Если точка движется по кривой линии с постоянной скоростью, ее ускорение равно:

Дидактическая единица: кинематика твердого тела 6. Какое движение совершает тело D, если O1 A = O2 B ?

8. Диск вращается вокруг неподвижной оси по закону = 2t 2 4t.

Чему равна угловая скорость вращения через 1 секунду после начала движения?

9. Тело вращается по закону = 2t 3 + 3t 2. В интервале времени 2 t 3 с движение тела:

Ответ: а) замедленное; б) равномерное; в) ускоренное.

10. Где находится мгновенный центр скоростей точек плоской фигуры?

Ответ: а) в точке пересечения векторов скоростей всех точек;

б) на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек, восстановленных в точках приложения;

11. В какой точке находится мгновенный центр скоростей звена 2?

12. Какие тела совершают в данное мгновение поступательное движение?

Дидактическая единица: сложное движение точки и твердого тела 13. Абсолютное ускорение точки в общем случае сложного движения складывается:

Ответ: а) из относительного и переносного ускорений;

б) относительного, переносного и кориолисова ускорений;

в) относительного и кориолисова ускорений.

14. В каком случае ускорение Кориолиса равно нулю?

Ответ: а) когда переносное движение поступательное;

б) когда переносное движение вращательное;

в) когда переносное движение плоское.

15. Какое движение твердого тела можно рассматривать как сложное?

Ответ: а) поступательное;

Условия равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, могут быть выражены в следующих формах:

т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на оси координат и сумма моментов всех сил относительно какой-либо точки плоскости;

т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно трех каких-либо точек плоскости, не лежащих на одной прямой;

т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно двух каких-либо точек плоскости и сумма проекций всех сил на любую ось, не перпендикулярную прямой, проходящей через эти две точки.

векторами сил, параллельными координатным осям (рис. 15).

направленным вдоль оси стержня.

Реакция шарнирно-подвижной опоры изображается вектором силы, направленным по нормали к поверхности, вдоль которой опора допускает перемещение (рис. 16).

Реакция жесткой заделки изображается двумя векторами сил, параллельными координатным осям, и парой сил с моментом реакции (рис. 17).

Активные силы могут быть представлены сосредоточенной или распределенной нагрузкой, а также моментом пары сил.

Если линия действия сосредоточенной силы не параллельна какойлибо оси координат, то силу необходимо разложить на составляющие (проекции), параллельные координатным осям, т.е. заданная сосредоточенная сила будет являться равнодействующей эквивалентной системы сил.

Проекции векторов положительные, если их направление совпадает с положительным направлением координатных осей, в противном случае проекции отрицательны. Если вектор силы перпендикулярен некоторой оси, то проекция этого вектора на эту ось равна нулю.

Распределенную нагрузку следует заменить сосредоточенной силой, приложенной ровно посредине нагруженного участка. Модуль равнодействующей равен:

где q – интенсивность распределенной нагрузки, l – длина нагруженного участка.

Момент пары сил считается положительным, если изображающая дуговая стрелка направлена против часовой стрелки. В противном случае момент пары сил считается отрицательным.

Алгебраическое значение момента силы F относительно некоторого центра O равно произведению модуля силы F на плечо h :

Плечом считается кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от выбранного центра до линии действия силы:

Момент силы относительно выбранного центра положительный, если сила стремится произвести вращение тела против хода часовой стрелки, в противном случае момент силы относительно выбранного центра отрицательный. Если линия действия силы проходит через выбранный центр, то момент этой силы относительно этого центра равен нулю.

Момент силы относительно центра может быть найден по теореме Вариньона: если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительного любого центра равен сумме моментов составляющих относительно этого же центра:

Для решения задачи следует:

1. Провести анализ условия задачи.

2. Выбрать систему координат.

3. Выделить тело, равновесие которого необходимо рассмотреть.

4. Показать активные силы, выполнив, если нужно, преобразование систем сил в эквивалентные системы.

5. Показать реакции внешних опор.

6. Составить уравнения равновесия.

7. Определить искомые реакции.

П р и м е р 1. Арочная ферма (рис. 18) имеет неподвижный опорный шарнир в точке А, в точке В – подвижную гладкую опору, плоскость которой наклонена к горизонту по углом 30. Пролет АВ=20 м.

Центр тяжести фермы, вес которой вместе со снеговой нагрузкой равен 100 кН, находится в точке С, расположенной над серединой пролета АВ. Равнодействующая сил давления ветра F равна 20 кН и направлена параллельно АВ, линия ее действия отстоит от АВ на 4 м. Определить опорные реакции.

действующую на ферму. В точке A установлена шарнирно-неподвижная опора, в точке B – шарнирно-подвижная. Следовательно, необходимо определить реакции X A, YA и RB. Задача статически определимая, для нахождения искомых реакций необходимо решить уравнения равновесия плоской системы сил, действующей на тело, в форме:

2. Выбор системы координат. Проведем координатные оси Bx и By через точку B таким образом, чтобы ось Bx проходила через точку A, а ось By была ей перпендикулярна.

3. Выбор тела, равновесие которого необходимо рассмотреть.

Изобразим арку без опор (рис. 19) и проставим геометрические размеры.

4. Изображение активных сил. Из точки C вертикально вниз проведем силу тяжести P. Силу ветровой нагрузки F можно изобразить в любом месте схемы на расстоянии, соответствующем 4 м от оси Bx.

5. Изображение реакций внешних опор. Реакцию шарнирнонеподвижной опоры изобразим двумя составляющими XA и YA , параллельными координатным осям. Направление искомых реакций выберем таким, чтобы их проекции вошли в уравнения равновесия со знаком «+». Реакцию шарнирно-подвижной опоры RB направим по нормали к поверхности, вдоль которой опора допускает перемещение.

6. Составим уравнения равновесия:

1) Fx=0; RBcos60+XA–F=0;

2) Fy=0; RBsin60+YA–P=0;

3) M B ( F k ); –P10+F4+YA20=0; –10010+204+YA20=0.

7. Решая систему уравнений, получим:

– из 3-го YA=46кН;

– из 2-го RB=62,35кН;

– из 1-го XA= –11,2кН.

Анализ результатов показывает, что сила XA направлена в сторону, противоположную направлению на рис. 19.

Для проверки правильности решения необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно любой точки, кроме точки B, была равна нулю, например, M A ( F k ) = 0 (или относительно любой другой точки).

–20RB cos 30+10P+4F = 20 62,35 0,866 + 10 100 + 4 20 =0.

Ответ: X A = –11,2 кН, YA =46 кН и RB =62,35 кН.

Варианты заданий для самостоятельной работы приведены в табл. 5.

Необходимо определить реакции опор.

(пространственной системы сил) Из условий равновесия следуют шесть аналитических уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на оси координат и суммы моментов всех сил относительно этих осей координат.

пространственной системой сил могут использоваться сферические шарниры или подпятники и цилиндрические шарниры (подшипники).

Подпятник или сферический шарнир следует рассматривать как шарнирно неподвижную опору, в которой возникают три реакции, параллельные осям координат (рис. 20). В подшипнике возникают две реакции совпадающим с осью вала (рис. 21).

Активные силы, не параллельные координатным осям, следует разложить на составляющие (проекции), параллельные осям координат.

Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо. Плечом считается кратчайшее расстояние от линии действия проекции до точки пересечения оси и плоскости.

Момент силы относительно оси положительный, если при взгляде с конца оси виден поворот тела против хода часовой стрелки. В противном случае момент считается отрицательным.

Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия вектора силы и ось лежат в одной плоскости.

При составлении уравнений моментов можно использовать теорему Вариньона о моменте равнодействующей: если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен сумме моментов составляющих ее сил относительно этой же оси, например: M z ( R ) = П р и м е р 6. На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках А и В (рис. 22), насажены перпендикулярно к оси вала шкив радиусом r1=0,2м и барабан радиусом r2=0,15м.

Вал приводится во вращение ремнем, накинутым на шкив, при этом поднимается груз весом Р=1,8 кH, привязанный к тросу, который наматывается на барабан.

Не учитывая вес конструкции, определим реакции в подшипниках А и В и натяжение Т1 ведущей ветви ремня, если Т1 = 2Т2. Дано: а=0,4м, b=0,6м, =30.

Применим порядок решения задачи о равновесии произвольной плоской системы сил.

Р е ш е н и е: 1. Анализ условия задачи.

При равномерном вращении вала действующие на него силы находятся в равновесии. В точках A и B установлены подшипники, следовательно, реакции опор в каждой из этих точек будут представлены двумя составляющими. Система сил – произвольная пространственная.

Уравнения равновесия имеют вид (1).

2. Выбор системы координат.

Оси координат изображены на схеме. Начало координат – в точке B.

3. Выбор тела, равновесие которого необходимо рассмотреть.

Изобразим вал со шкивом и барабаном без опор и проставим геометрические размеры. Отбросим груз, заменив его действие силой натяжения троса P, приложенной непосредственно к барабану (рис. 23).

4. Изображение активных сил. Покажем силы натяжения ремня T1 и параллельные осям By и Bz (проекции силы на соответствующие координатные оси). Сила P перпендикулярна оси Bx, следовательно, ее проекция на эту ось равна нулю. Определим абсолютные значения проекций (без учета знака):

Py = P cos 30o =1,8·0,866=1,559 Н;

5. Изображение реакций внешних опор. В точках A и B установлены цилиндрические шарниры (подшипники). Реакции цилиндрических шарниров изобразим в каждой точке двумя составляющими R Ay, R Az и RBy, RBz, параллельными двум координатным осям, перпендикулярно валу. Направление искомых реакций выберем таким, чтобы их проекции вошли в уравнения равновесия со знаком «+».

6. Составим уравнения равновесия.

Подставляя исходные данные, имеем:

7. Решая систему уравнений, получим:

– из 4-го T2=1,35 кH, следовательно, T1=2,7 кH;

Ответ: T1=2,7 кH;

RBy = 0,69 кH.

Знак минус реакции R Ay означает, что направление этой силы противоположно указанному.

Варианты заданий для самостоятельной работы приведены в табл. 6.

Необходимо определить реакции опор.

1. Что изучает статика?

Ответ: а) способы преобразования систем сил в эквивалентные системы;

б) условия равновесия сил, приложенных к твердому телу;

2. Система сходящихся сил – это совокупность сил, в которой:

Ответ: а) линии действия сил совпадают;

б) линии действия сил пересекаются в одной точке;

3. На какой схеме R является равнодействующей системы сходящихся сил?

4. На какой схеме система активных сил эквивалентна нулю?

5. На какой схеме система активных сил эквивалентна паре сил?

равнодействующей?

7. Алгебраический момент силы относительно центра считается положительным, если он вызывает вращение:

Ответ: а) по часовой стрелке;

8. В каких видах опор возникает момент реакции?

Ответ: а) в шарнирных опорах;

9. На какой схеме правильно изображены реакции жесткой заделки в случае нагружения произвольной плоской системой активных сил?

10. Как изображается шарнирно-неподвижная опора и ее реакции в случае нагружения произвольной плоской системой внешних сил:

11. На какой схеме правильно изображена реакция гладкой опорной плоскости?

12. Аналитическими условиями равновесия произвольной плоской системы сил являются уравнения:

13. Для какой схемы составлены уравнения равновесия?

14. Какое уравнение моментов составлено относительно точки В?

находящимся под действием некоторой системы сил, если главный вектор и главный момент этой системы сил не равны нулю, а направления векторов совпадают?

Ответ: а) перемещение в направлении главного вектора; б) вращение в плоскости действия главного момента; в) винтовое движение.

Дифференциальные уравнения движения твердого тела Дифференциальные уравнения простейших движений твердого тела получают из общих теорем динамики.

Дифференциальное уравнение поступательного движения тела получают из теоремы об изменении количества движения механической системы:

вектор внешних сил, Для абсолютно твердого тела Fki = 0.

В случае прямолинейного движения дифференциальное уравнение движения имеет вид:

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела получают из теоремы об изменении кинетического момента механической системы:

где J z – осевой момент инерции тела, – угловая скорость вращения, внутренних сил относительно оси вращения.

В абсолютно твердом теле Следовательно, дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела имеет вид:

где – угловое ускорение.

Для исследования поступательного и вращательного движения механической системы необходимо:

1) разделить систему на абсолютно твердые тела, действие отброшенной части системы заменить силами, приложенными в точках соприкосновения;

2) составить дифференциальные уравнения движения каждого тела;

3) записать уравнения кинематических связей и выразить все ускорения тел, входящие в систему дифференциальных уравнений движения, через искомое;

4) исключить из уравнений неизвестные силы взаимодействия, получив в общем виде выражение для ускорения тела, движение которого требуется исследовать;

5) дважды проинтегрировать полученное выражение;

6) определить постоянные интегрирования из начальных условий.

Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела Механическая система состоит из механизма (колес 1 и 2) и груза 3.

К колесу 1 приложена пара сил с моментом M = M(t) (движущий момент) (рис. 24).

Время t отсчитывается от некоторого момента ( t = 0 ), когда угловая скорость колеса 1 равна 10. Момент сил сопротивления ведомого колеса равен Мс. Другие силы сопротивления движению системы не учитывать.

Массы колес 1 и 2 равны m1 и т2, а масса груза 3 – т3. Радиусы окружностей колес R1, R2, r2.

Найти уравнение вращательного движения колеса 2 механизма.

Дано: т1 = 100 кг; т2 = 150 кг; т3 = 400 кг; M = 4200 + 200t Н·м;

M с = const = 2000 Н м ; R1 = 0,6 м; R2 = 0,4 м; r2 = 0,2 м; ix1 = 0,2 2 м;

ix2 = 0,3 м ; 10 = 2 рад/с.

Р е ш е н и е. 1. В данной механической системе колеса 1 и механизма вращаются вокруг неподвижных осей, а поднимаемый груз совершает поступательное движение.

Отделим тела друг от друга, разрезав нить, удерживающую груз 3, и разъединив колеса 1 и 2 в точках соприкосновения зубьев.

К колесу 1 механизма приложены сила тяжести G1 движущий момент М, составляющие реакции подшипника YA, Z A, окружное усилие S и нормальная реакция N колеса 2 (рис. 25).

К колесу 2 механизма приложены сила тяжести G2, момент сил сопротивления Мс, составляющие реакции подшипника YB, Z B, сила натяжения T нити, к которой подвешен груз 3, окружное усилие S и нормальная реакция N колеса 1 (рис. 26).

К грузу 3 приложены сила тяжести G3 и сила натяжения нити T (рис. 27).

Очевидно, что в силу закона равенства действия и противодействия окружные усилия, нормальные реакции и силы натяжения нити, приложенные к телам механической системы, соответственно равны друг другу по модулю и противоположны по направлению.

2. Составим дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 1 вокруг оси x1:

здесь – главный момент внешних сил, приложенных к колесу 1, относительно оси вращения х1.

Заданный движущий момент M приводит в движение колесо 1 и поэтому его следует принять положительным, а момент, создаваемый окружным усилием S, препятствует вращению колеса 1 и, следовательно, его следует принять отрицательным:

Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса примет вид Составим дифференциальное уравнение вращательного движения колеса 2 вокруг оси х2:

Здесь – главный момент внешних сил, приложенных к колесу 2, относительно оси вращения х2.

Момент, создаваемый окружным усилием S, приводит в движение колесо 2 и поэтому его следует принять положительным, а момент силы натяжения нити T и момент сил сопротивления Mс препятствуют движению колеса и, следовательно, их следует принять отрицательными:

Дифференциальное уравнение вращательного движения колеса имеет вид Составим дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3:

Здесь – проекция главного вектора внешних сил, приложенных к грузу 3, на ось z, направленную в сторону движения груза, т.е. вверх:

Дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3:

Таким образом, движение механической системы описывается системой дифференциальных уравнений (1)…(3):

В уравнениях (4) неизвестными являются силы T и S, а также функции 1 (t ), 2 (t ), и &&3 (t ) – угловые ускорения колес 1, 2 и ускорение груза 3 соответственно.

3. Запишем уравнения кинематических связей для тех точек системы, где происходит передача движения от одного тела к другому. Скорость груза равна скорости точки внутреннего обода колеса 2:

Скорость точки внешнего обода колеса 2 равна скорости обода точки колеса 1:

производные по времени от функций изменения скоростей:

Следовательно, функции ускорений, входящих в уравнения (4) связаны между собой соотношениями:

так, что в трех уравнениях (4) – три неизвестные: Т, S и 2.

Подставим выражения (5) и (6) в первое и третье уравнения системы (4) соответственно. Получим систему уравнений:

4. Выразим силу T из последнего уравнения (7):

Выразим из первого уравнения (7) силу S :

Подставим эти выражения во второе уравнение системы (7). После приведения подобных членов, содержащих 2, получим:

Выражение (10) определяет в общем виде угловое ускорение колеса 2 механизма.

Моменты инерции колес 1 и 2 относительно осей x1 и x2 равны соответственно:

Учитывая исходные данные, находим Теперь по формуле (8) получаем 5. Интегрируя уравнение (9) дважды, получаем:

2 = 2,017t 2 + 0,4597t + C1 – закон изменения скорости, (10) 6. Постоянные интегрирования определим из начальных условий:

Подставляя начальные условия в (10) и (11), получим:

Искомое уравнение вращательного движения колеса 2 имеет вид:

2 = 0,672t 3 + 0,230t 2 + 3t (рад).

Варианты для самостоятельной работы приведены на рис. 28 и в табл. 8. Схемы механических систем показаны на рис. 28, а необходимые для решения данные приведены в табл. 8.

Движение системы вызывает движущий момент M или движущая сила P. Колеса 1 и 2, для которых радиусы инерции ix1 и ix 2 в табл. 7 не заданы, считать сплошными однородными дисками.

Найти уравнение движения тела системы, указанного в последней графе табл. 7.

П р и м е ч а ни е. Радиусы инерции звеньев 1 и 2 ix1 и ix2 заданы относительно неподвижных осей этих звеньев Рис. 28 Начало Рис. 28 Продолжение Рис. 28 Окончание Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы Теорема об изменении кинетической энергии механической системы применяется в тех случаях, когда по условию задачи неизвестно время движения, но известно перемещение одного из тел механической системы.

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии в конечной (интегральной) форме можно определить скорость любого тела системы в конечном положении.

В соответствии с теоремой изменение кинетической энергии системы на некотором перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил системы на этом перемещении:

где T0 – кинетическая энергия системы в начальном положении; T – кинетическая энергия системы в конечном положении; – сумма работ внешних сил; – сумма работ внутренних сил на заданном перемещении.

Системы, состоящие из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, называются неизменяемыми. Для неизменяемых механических систем сумма работ внутренних сил на любом перемещении равна нулю:

Если по условию задачи система в начальный момент времени находилась в состоянии покоя, ее кинетическая энергия в начальном положении равна нулю:

Таким образом, математическая формулировка теоремы имеет вид:

Для исследования движения неизменяемой механической системы из положения равновесия необходимо определить конечное положение (определить перемещения всех тел системы), составить формулу для определения кинетической энергии в конечном положении и вычислить сумму работ внешних сил при перемещении всех тел системы из начального положения в конечное.

Кинетическая энергия механической системы определяется как сумма кинетических энергий всех тел, образующих эту систему:

Кинетическая энергия твердого тела определяется в зависимости от вида ее движения.

Если тело движется поступательно, все его точки имеют в любой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости, следовательно, его кинетическую энергию можно определить по формуле:

где m – масса тела, vC – скорость центра масс.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, это движение характеризуется единой для всех точек угловой скоростью вращения тела, следовательно, его кинетическую энергию можно определить по формуле:

где J – осевой момент инерции тела, – угловая скорость вращения.

Если тело движется плоскопараллельно, его кинетическую энергию можно определить по формуле:

где m – масса тела, vC – скорость центра масс, J – осевой момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, – угловая скорость вращения.

Угловую скорость следует определять относительно мгновенного центра скоростей, т.к. вращательная часть плоского движения от выбора полюса не зависит.

Работа постоянной силы определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения точки приложения силы:

где F – модуль силы, s – модуль перемещения, – угол между перемножаемыми векторами.

Знак работы может быть положительным или отрицательным в зависимости от знака cos. В случае коллинеарности перемножаемых векторов работа силы положительна, если направление действия силы совпадает с направлением линейного перемещения точки приложения силы. В противном случае работа силы отрицательна. Если точка приложения силы не перемещается, работа силы равна нулю.

Работа пары сил с моментом M определяется произведением модуля момента пары на величину углового перемещения тела:

Работа момента пары сил положительна, если направление момента совпадает с направлением углового перемещения тела, в противном случае работа момента отрицательная.

Для изучения движения механической системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии необходимо:

1) определить конечное положение системы;

2) записать формулы для определения кинетической энергии каждого тела системы;

3) составить формулу для определения кинетической энергии системы в конечном положении;

4) записать уравнения кинематических связей и выразить все скорости тел, входящие в формулу кинетической энергии, через искомую;

5) записать формулы для определения работ внешних сил на заданном перемещении;

6) составить формулу для определения суммы работ внешних сил;

7) записать уравнения геометрических связей и выразить все перемещения тел, входящие в формулы работ, через заданное перемещение;

8) приравнять полученные выражения для кинетической энергии системы и суммы работ внешних сил, из полученного равенства найти искомую скорость.

действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя;



Pages:   || 2 |
 




Похожие работы:

«Традиционная культура тувинцев глазами иностранцев (конец XIX — начало X X века) ТУВИНСКОЕ КН И Ж Н О Е И ЗД А ТЕЛ ЬС ТВ О К Ы ЗЫ Л # 2003 ББК 84.34(4) Т 65 Федеральная целевая программа Культура России Подготовка текстов, предисловие и комментарий кандидата искусствоведения А. К. КУЖУГЕТ Т65 Т ради цион ная культура тувинцев глазами иностранцев (конец XIX - начало XX века) / Подготовка текстов, предис­ ловие и комментарий А. К. Кужугет. — Кызыл: Тувинское книжное издательство, 2002.— 224 с....»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ Учреждение образования БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ НАУЧНЫЙ ПОИСК МОЛОДЕЖИ XXI ВЕКА Сборник научных статей по материалам XIV Международной научной конференции студентов и магистрантов (Горки 27 – 29 ноября 2013 г.) В пяти частях Часть 1 Горки БГСХА 2014 УДК 63:001.31 – 053.81 (062) ББК 4 ф Н 34 Редакционная коллегия: А. П. Курдеко (гл. редактор), А....»

«Самарская Лука: проблемы региональной и глобальной экологии. Самарская Лука. 2009. – Т. 18, № 1. – С. 188-201. УДК 581.5+581.9 РАЗВИТИЕ ГИДРОБОТАНИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ В СРЕДНЕМ ПОВОЛЖЬЕ © 2009 В.В. Соловьева1, С.В. Саксонов2, С.А. Сенатор2, Н.В. Конева2* 1 Поволжская государственная социально-гуманитарная академия, г. Самара (Россия) 2 Институт экологии Волжского бассейна РАН, г. Тольятти (Россия) saxoff@pochta.ru Поступила 17 февраля 2009 г. Обзор состояния изученности прибрежно-водной и...»

«ИРКУТСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ШАРИФЗЯН КАДИРОВИЧ ХУСНИДИНОВ Биобиблиографический указатель литературы Иркутск, 2011 2 Иркутская государственная сельскохозяйственная академия Библиотека Творческое наследие ученых ИрГСХА Шарифзян Кадирович Хуснидинов К 75-летию со дня рождения и 39-летию трудовой деятельности в ИрГСХА Биобиблиографический указатель литературы Иркутск, 2011 3 УДК 016:929 ББК 91.28 Печатается по решению научно-методического совета Иркутской государственной...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН ФГОУ ВПО БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГНУ БАШКИРСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССЕЛЬХОЗАКАДЕМИИ ОАО БАШКИРСКАЯ ВЫСТАВОЧНАЯ КОМПАНИЯ НАУЧНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИННОВАЦИОННОГО РАЗВИТИЯ АПК Часть I АГРОЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА, ВОСПРОИЗВОДСТВО ПЛОДОРОДИЯ ПОЧВ И ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СИСТЕМАХ ЗЕМЛЕДЕЛИЯ РАЦИОНАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ, УЧЕТ, ОХРАНА И...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра микробиологии, эпизоотологии и вирусологии Государственное управление ветеринарии Краснодарского края Государственное учреждение Краснодарского края Кропоткинская краевая ветеринарная лаборатория А.А. ШЕВЧЕНКО, О. Ю. ЧЕРНЫХ, Л.В. ШЕВЧЕНКО, Г.А. ДЖАИЛИДИ, Д.Ю. ЗЕРКАЛЕВ ДИАГНОСТИКА...»

«ФГБОУ ВПО Кубанский государственный аграрный университет Бурда А. Г. Краснодар 2013 Министерство сельского хозяйства РФ ФГБОУ ВПО Кубанский государственный аграрный университет А. Г. Бурда ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Учебное пособие Краснодар 2013 УДК 336.78(075.8) ББК 65 Б92 Рецензенты: Н. В. Липчиу – доктор экономических наук, профессор, зам. зав. кафедрой финансов Кубанского государственного агарного университета, член-корреспондент Российской академии естествознания. И. А....»

«М. И. Смирнов ЭТНОГРАФИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ПЕРЕСЛАВЛЬ-ЗАЛЕССКОМУ УЕЗДУ, ВЛАДИМИРСКОЙ ГУБЕРНИИ. СВАДЕБНЫЕ ОБРЯДЫ И ПЕСНИ, ПЕСНИ КРУГОВЫЕ И ПРОХОДНЫЕ, ЛЕГЕНДЫ ИГРЫ. И СКАЗКИ Москва 2008 ББК 82.3(2Рос-4Яр)-6 С 50 Издание подготовлено ПКИ — Переславской Краеведческой Инициативой. Редактор А. Ю. Фоменко. Печатается по: Смирнов, М. И. Этнографические материалы по Переславль-Залесскому уезду, Владимирской губернии. Свадебные обряды и песни, песни круговые и проходные, игры. Легенды и сказки / М. И....»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ООО БАШКИРСКАЯ ВЫСТАВОЧНАЯ КОМПАНИЯ НАУЧНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ АПК Часть I НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АПК АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ЭНЕРГЕТИКИ В...»

«ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ ДЛЯ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ МАТЕРИАЛЫ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ С МЕЖДУНАРОДНЫМ УЧАСТИЕМ Благовещенск Издательство БГПУ 2013 Министерство образования и наук и Российской Федерации ФГБОУ ВПО Благовещенский государственный педагогический университет ФГАОУ ВПО Дальневосточный федеральный университет Администрация Амурской области ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ ДЛЯ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ...»

«ИННОВАЦИИ И ТЕХНОЛОГИИ В ЛЕСНОМ ХОЗЯЙСТВЕ Материалы международной научно-практической конференции 22-23 марта 2011 г., Санкт-Петербург, ФГУ СПбНИИЛХ 2011 1 PROCEEDINGS SAINT-PETERSBURG FORESTRY RESEARCH INSTITUTE Issue 1(24) SAINT-PETERSBURG 2011 ТРУДЫ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО НАУЧНОИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ИНСТИТУТА ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА Выпуск 1(24) САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2011 3 Рассмотрены и рекомендованы к изданию Ученым советом Федерального...»

«СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВОСПРОИЗВОДСТВА ЛЕСНЫХ РЕСУРСОВ БИОЛОГИЯ ЗВЕРЕЙ И ПТИЦ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированного специалиста по направлению 656200 Лесное хозяйство и ландшафтное строительство специальности 250201 Лесное хозяйство (очная форма обучения) СЫКТЫВКАР 2007 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ – ФИЛИАЛ ГОУ ВПО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ С. М. КИРОВА...»

«ДЕПАРТАМЕНТ УПРАВЛЕНИЯ ПРИРОДНЫМИ РЕСУРСАМИ И ОХРАНЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ ТВЕРСКОЙ ОБЛАСТИ ТВЕРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА им. А.М. ГОРЬКОГО ЦЕНТР ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ ТОУНБ им. А.М. ГОРЬКОГО ЭКОЛОГИЯ. ИНФОРМАЦИЯ. БИБЛИОТЕКА МАТЕРИАЛЫ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ТВЕРЬ 2009 г. 1 УДК 574.9 ББК 20.080 Э40 РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: Ю.Н. Женихов, доктор технических наук, зав. кафедрой Природообустройства и экологии ТГТУ. М.М. Агеева, зав. отделом...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра информационных систем ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЛЕСНОМ ХОЗЯЙСТВЕ Учебно-методический комплекс по дисциплине для студентов специальности 250201 Лесное хозяйство всех форм обучения Самостоятельное учебное...»

«ФИТОЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УДК 581.526.552 (477.60) А.З. Глухов, А.И. Хархота, С.И. Прохорова, И.В. Агурова СТРАТЕГИИ ПОПУЛЯЦИЙ РАСТЕНИЙ В ТЕХНОГЕННЫХ ЭКОСИСТЕМАХ популяция, стратегия, техногенные экосистемы Введение Проблема антропогенного воздействия на окружающую природную среду на сегодня остается актуальной и приобретает новые акценты в связи с остротой задач сохранения фиторазнообразия в условиях техногенеза. В период глобального загрязнения и преобразования биосферы под влиянием...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.М. Фатеева, О.А. Возилкина, Н.В. Тумбаева АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА Учебно-методические указания Барнаул Издательство АГАУ 2008 1 УДК 681.518 (075) Рецензенты: д.ф.-м.н., профессор, зав. каф. прикладной информатики Алтайской академии экономики и права А.В. Пляшешников; к.т.н.,...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Актуальные проблемы генетики и молекулярной биологии в рамках фестиваля наук и МАТЕРИАЛЫ всероссийской молодежной конференции в рамках Федеральной целевой программы Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы (Уфа, Россия, 24-28 сентября 2012 г.) Уфа Башкирский...»

«ФГБОУ ВПО СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ш.Ж. Габриелян, Е.А. Вахтина ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Студентам вузов заочной, очно-заочной форм обучения неэлектротехнических специальностей и направлений подготовки г. Ставрополь, 2012 1 УДК 621.3 ББК 31.2:32.85 Рецензенты: кандидат технических наук, доцент кафедры информационных технологий и электроники Ставропольского технологического института...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермская государственная сельскохозяйственная академия имени академика Д.Н. Прянишникова И.А. Самофалова ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ ПОЧВ И ПОЧВООБРАЗУЮЩИХ ПОРОД Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по агрономическому образованию в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности 110101 Агрохимия и агропочвоведение и 110102...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО БАШКИРСКИЙ ГАУ ГНУ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА ПРОДУКЦИИ РАСТЕНИЕВОДСТВА МАТЕРИАЛЫ ВСЕРОССИЙСКОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ПОСВЯЩЕННОЙ 85-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ ИЗВЕСТНОГО УЧЕНОГО РАСТЕНИЕВОДА И ОРГАНИЗАТОРА НАУКИ БАХТИЗИНА НАЗИФА РАЯНОВИЧА (1927-2007 гг.) 7–9 февраля 2013 г. Уфа Башкирский ГАУ 2013 УДК...»






 
© 2013 www.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.