WWW.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

 

Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Т.В. БОРДОВИЦЫНА, В.А. АВДЮШЕВ

ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ

ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ

Аналитические и

численные методы

Учебное пособие

Издательство Томского университета 2007

2

УДК

ББК

Б

Рецензент: профессор МГУ, д. ф.-м. н. Н.В. Емельянов

Печатается по решению учебно-методического объединенииия «Физика»

Бордовицына Т.В., Авдюшев В.А.

Б Теория движения искусственных спутников Земли. Аналитиче ские и численные методы: Учеб. пособие. — Томск: Изд-во Том.

ун-та, 2007. — 178 с.

ISBN В настоящем учебном пособии излагаются применяемые в за дачах динамики искусственных спутников Земли (ИСЗ) уравнения движения, аналитические и численные методы их решения, а также различные способы представления действующих на ИСЗ сил. Три последних раздела книги посвящены описанию существующих аналитических и численных моделей движения ИСЗ и возможно стей их практического использования. Данное пособие представля ет собой детальное описание одного из важных разделов курса «Небесная механика», являющегося федеральной компонентой го сударственного образовательного стандарта высшего профессио нального образования (ГОС ВПО) по специальности 010900 «Ас трономия».

Это учебное пособие может использоваться в преподавании курсов «Небесная механика» и «Аналитические и численные мето ды интегрирования в космической геодезии», входящих в феде ральную составляющую ГОС ВПО по специальности 300500 «Кос мическая геодезия», а также для чтения специального курса по ди намике искусственных спутников Земли при осуществлении раз личных специализаций, связанных с созданием, эксплуатацией и использованием искусственных спутников Земли.

УДК ББЛ ISBN © Т.В. Бордовицына, В.А. Авдюшев,

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ИСЗ

2. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

2.1. Притяжение объемного тела

2.2. Основные сведения о полиномах Лежандра

2.3. Присоединенные функции Лежандра. Общее выражение для сферических функций.

2.4. Нормированные и полностью нормированные функции Лежандра... 2.5. Разложение потенциала в ряд по сферическим функциям

2.6. Различные формы записи потенциала притяжения Земли

2.7. Структура разложения потенциала Земли

2.8. Определение постоянных гравитационного поля Земли.

Стандартные Земли

2.9. Представление потенциала Земли системой точечных масс...............

3. КЛАССИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИСЗ

3.1. Уравнения движения в прямоугольных координатах

3.2. Уравнения движения в оскулирующих кеплеровых элементах.......... 3.3. Вывод уравнений в возмущениях канонических переменных методом Гамильтона–Якоби

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ,

ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ИСЗ

4.1. Возмущения от несферичности геопотенциала

4.2. Возмущения от приливных деформаций центрального тела............... 4.3. Лунно-солнечные возмущения

4.4. Возмущения от светового давления

4.5. Возмущения от сопротивления атмосферы

4.6. Классификация орбит ИСЗ

5. ГЛАВНАЯ ПРОБЛЕМА В ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ИСЗ

5.1. Вводные замечания

5.2. Возмущающая функция

5.3. Вековые возмущения

5.4. Короткопериодические возмущения

5.5. Задача Акснеса

5.6. Задачи Винти и Кислика

5.7. Задача двух неподвижных центров

6. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ИСЗ

6.1. Вывод уравнений в возмущениях промежуточного движения обобщенным методом Лагранжа

6.2. Уравнения движения в эйлеровых элементах

6.3. Метод Цейпеля

6.4. Метод рядов и преобразований Ли (метод Хори–Депри)

7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТ

7.1. Вводные замечания

7.2. Формы представления потенциала Земли в виде функции элементов орбит

7.3. Особенности вычисления лунно-солнечных возмущений

8. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ИСЗ

8.1. Особенности численного интегрирования уравнений движения ИСЗ

8.2. Рекуррентные алгоритмы для вычисления шаровых функций Vn,m и их производных

8.3. Вычисление возмущений от приливных деформаций центрального тела

8.4. Особенности представления других возмущений в численном моделировании движения ИСЗ

9. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ





9.1. Вводные замечания

9.2. Явные одношаговые алгоритмы Рунге–Кутты–Фельберга.................. 9.3. Неявный одношаговый алгоритм Эверхарта

9.4. Экстраполяционные алгоритмы

9.4.1. Экстраполяционные схемы Невилла и Штера

9.4.2. Метод Булирша и Штера

9.4.3. Выбор шага интегрирования

9.5. Многошаговые методы

9.5.1. Принципы построения

9.5.2. Алгоритм Адамса–Мультона–Коуэлла

9.6. Сравнительная характеристика методов

10. МЕТОДЫ ТЕОРИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ИСЗ

10.1. Стабилизация уравнений орбитального движения

10.1.1. Неустойчивость кеплеровского движения

10.1.2. Метод Баумгарта

10.1.3. Возмущенная задача двух тел

10.2. Регуляризация уравнений движения. Преобразование Кустаанхеймо–Штифеля

10.3. Метод Энке

10.3.1. Классический метод Энке

10.3.2. Обобщение метода Энке

10.3.3. Уравнения Энке в переменных Кустаанхеймо–Штифеля. 10.3.4. Метод Энке как метод приведения систем к стандартному виду

10.3.5. Уравнения Энке в задачах спутниковой динамики........... 10.4. Метод вариации постоянных

10.5. Исследование эффективности методов теории специальных возмущений в задачах динамики ИСЗ

10.5.1. Численный эксперимент

10.5.2. Характеристики эффективности численного интегрирования

10.5.3. Численные результаты

11. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

11.1. Вводные замечания

11.2. Высокоточные аналитические модели движения ИСЗ.................. 11.3. Решение главной проблемы движения ИСЗ методом преобразований Ли

11.4. Построение численно-аналитических алгоритмов прогнозирования движения ИСЗ

11.4.1. Алгоритм преобразований Ли для произвольных переменных фазового пространства

11.4.2. Построение полуаналитической методики расчета движения резонансных ИСЗ типа «Навстар» в эйлеровых элементах

12. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

12.1. Вводные замечания

12.2. Высокоточные численные модели движения ИСЗ

12.3. Методика численного исследования структуры возмущений и ее применение

12.4. Исследование структуры орбитальных возмущений ИСЗ различных классов орбит

12.4.1. Исследование орбитальных возмущений геодинамических ИСЗ с высотами полета выше 300 км

12.4.2. Исследование орбитальных возмущений резонансных ИСЗ

12.5. Определение трасс спутников

13. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ОБРАЗОВАНИЯ И

ЭВОЛЮЦИИ КОСМИЧЕСКОГО МУСОРА

13.1. Проблема космического мусора

13.2. Математические модели распада космического аппарата на орбите

13.3. Вычисления пространственной плотности фрагментов................. 13.4. Численное моделирование распределения и эволюции орбит групп фрагментов распада

13.5. Тестирование модели взрыва по данным наблюдений.................. 13.6. Примеры численного моделирования распределения и эволюции фрагментов распада КА на орбитах.

13.6.1. Моделирование взрыва на геостационарной орбите.......... 13.6.2. Анализ динамической эволюции распределения фрагментов распада на геостационарной орбите................ 13.6.3. Исследование динамической эволюции и распределения вытянутым орбитам

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие написано для того, чтобы дать в руки студентов, специализирующихся в области небесной механики и космической геодезии, книгу, охватывающую большинство методов и подходов, используемых для построения аналитических и численных моделей движения искусственных спутников Земли (ИСЗ).

За 50 лет существования раздела науки, именуемого динамикой ИСЗ, соз дано много новых методов и алгоритмов, предназначенных как для прибли женного, так и для высокоточного моделирования движения, написаны глубо кие монографии (Каула, 1970;

Аксенов, 1977;

Дубошин, 1983) и аналитические обзоры (Уральская, Журавлев, 1980;

Емельянов, 1980), но практически нет учебников. Вышедшая в 1965 г. книга П.Е. Эльясберга «Введение в теорию по лета искусственных спутников Земли», которую можно было бы рекомендовать студентам для первоначального ознакомления с проблемой, давно стала биб лиографической редкостью. А по современным результатам нет даже сколько нибудь подробных обзоров. Справедливости ради следует сказать, что практи чески все вышедшие в последнее десятилетие учебники по спутниковой геоде зии содержат те или иные сведения из теории движения ИСЗ. Однако выбор приводимых форм уравнений движения, методов их интегрирования и моделей сил очень часто произволен и не дает полного представления об этом разделе небесной механики. Среди книг, изданных по динамике ИСЗ в последнее время за рубежом, выделяется книга О. Монтенбрука и Е. Гилла «Спутниковые орби ты. Модели, методы и приложения» (Montenbruck, Gill, 2000). Будучи переве денной на русский язык она вполне могла бы стать хорошим учебным пособи ем по прикладным вопросам динамики ИСЗ. Мы же в настоящем пособии изла гаем теорию движения ИСЗ как раздел небесной механики и стремимся охва тить все методы и подходы, применяемые в этой области науки.

Как аналитический, так и численный подход к решению уравнений не бесной механики основаны на приближении решений отрезками каких-либо рядов, однако в построении решений есть принципиальная разница.

Аналитический подход позволяет строить ряды, аппроксимирующие ре шение на значительных интервалах времени от одного до нескольких тысяч оборотов объекта. Кроме того, очень существенно, что аналитическая аппрок симация, хотя и может зависеть от типа орбиты, но никогда напрямую не свя зана с начальными условиями уравнений движения. В связи с этим аналитиче скую аппроксимацию можно считать общим решением. Поэтому аналитиче ские методы иногда называют методами общих возмущений.

Главная трудность при аналитическом подходе состоит в представлении правых частей уравнений движения в виде явных функций времени и элемен тов орбит. Это достигается путем разложения возмущающей функции в ряд пу ассоновского типа.

При численном подходе к решению уравнений движения аппроксимация ищется в виде различных модификаций отрезка ряда Тейлора на интервале времени, существенно меньшем одного оборота. Коэффициенты разложения вычисляются, исходя из начальных условий уравнений движения, и полученное решение является частным. Поэтому численные методы называют иногда мето дами специальных или частных возмущений.

Здесь мы рассмотрим оба подхода в применении к задаче моделирования движения ИСЗ, обсудим специфические особенности каждого подхода и при ведем простые примеры их использования. Кроме того, дадим обзор современ ных высокоточных аналитических и численных моделей движения ИСЗ и рас смотрим возможности их практического применения.

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие представляет собой детальное описание одного из важных разделов курса «Небесная механика», являющегося федеральной ком понентой государственного образовательного стандарта высшего профессио нального образования (ГОС ВПО) по специальности 010900 «Астрономия». Это учебное пособие может использоваться также в преподавании курсов «Небес ная механика» и «Аналитические и численные методы интегрирования в кос мической геодезии», входящих в федеральную составляющую ГОС ВПО по специальности 300500 «Космическая геодезия», также для чтения специального курса по динамике искусственных спутников Земли (ИСЗ) при осуществлении различных специализаций, связанных с созданием, эксплуатацией и использо ванием искусственных спутников Земли.

В предисловии изложена краткая история развития методов аналитиче ского и численного интегрирования уравнений движения искусственных спут ников Земли. Отмечены особенности того и другого подхода к задаче.

В главе 1 рассматриваются астрономические системы координат, исполь зуемые в задачах динамики ИСЗ, и описываются связывающие их преобразова ния.

В главе 2 описаны две формы представления геопотенциала: в виде раз ложения по сферическим функциям и системой точечных масс.

Третья глава посвящена классическим формам представления уравнений движения ИСЗ. Рассматриваются уравнения движения в прямоугольных коор динатах, уравнения в оскулирующих кеплеровых элементах, уравнения в кано нических переменных, а также уравнения в возмущениях канонических пере менных.

В 4-й главе представлены модели сил, действующих на ИСЗ. Здесь дано описание возмущающих сил, связанных с несферичностью земного потенциала, влиянием приливных деформаций центрального тела, влиянием третьего тела, а также сил светового давления и возмущений от сопротивления атмосферы.

В 5-й главе рассматривается решение главной проблемы динамики ИСЗ, связанной с описанием движения ИСЗ под действием сжатия Земли. Дается описание так называемых промежуточных орбит, полностью или частично учи тывающих действие сжатия Земли на движение спутника.

В 6-й главе обсуждаются аналитические методы построения теории дви жения ИСЗ. Приводится общий метод Лагранжа для построения уравнений в возмущениях параметров промежуточной орбиты. Приводятся уравнения дви жения, использующие в качестве промежуточной орбиты задачу двух непод вижных центров. Даются алгоритмы двух наиболее часто употребляемых в за дачах динамики ИСЗ методов усреднения: Цейпеля и Хори-Депри (метод рядов и преобразований Ли).

В 7-й главе рассматриваются способы представления правых частей урав нений движения в виде явных функций времени.

Главы с 8-й по 10-ю посвящены проблемам численного моделирования движения ИСЗ. В главе 8 дается постановка задачи численного моделирования движения ИСЗ, обсуждаются особенности уравнений движения, затрудняющие процесс их численного интегрирования, приводятся алгоритмы вычисления возмущающих сил, используемые в численном моделировании.

В главе 9 приводится описание наиболее часто используемых в задачах динамики ИСЗ численных методов высоких порядков и способов оценки точ ности интегрирования.

Глава 10 посвящена различным способам преобразования уравнений движения, повышающим точность и быстродействие процесса их численного интегрирования. Представлены различные способы стабилизации и регуляри зации уравнений движения, и кроме того, даны различные алгоритмы Энке, ис пользующие в качестве промежуточного движения как классическую задачу двух тел, так и ее регуляризированные и стабилизированные аналоги. В конце главы даны оценки эффективности применения регуляризирующих и стабили зирующих преобразований в процессе численного интегрирования уравнений движения ИСЗ.

В главе 11 приведены примеры применения аналитических методов в за дачах динамики ИСЗ. Дан обзор высокоточных аналитических теорий движе ния ИСЗ. Приведено решение главной проблемы движения ИСЗ методом Ли преобразований, а также дана полуаналитическая методика расчета движения 12-часового спутника, построенная с помощью того же метода осреднения.

Причем в качестве промежуточного движения использовано решение обобщен ной задачи двух неподвижных центров.

Двенадцатая глава посвящена описанию примеров использования чис ленных методов в задачах динамики ИСЗ. Здесь также дан обзор высокоточных численных моделей движения ИСЗ, представлен ряд методик прикладного ха рактера, основанных на использовании численных моделей, и приведено опи сание результатов их применения.

Глава 13 связана с обсуждением методов моделирования процесса фор мирования и орбитальной эволюции космического мусора, образовавшегося в результате распада космических аппаратов на орбитах. Глава заканчивается описанием оценок соответствия приводимых моделей данным, полученным из наблюдений. Кроме того, дается графическое описание некоторых интересных эволюционных процессов, имеющих место в динамике фрагментов космиче ского мусора, образовавшегося на орбитах в результате взрывов аппаратов.

1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ИСЗ

В задачах динамики ИСЗ применяют две основные системы прямоугольных де картовых координат: опорную небесную (инерциальную) и земную опорную.

Приближенной реализацией инерциальной системы координат является не вращающаяся система небесных координат. Для ее задания используют сред нюю экваториальную систему координат стандартной эпохи, которая материа лизуется в виде фундаментального каталога положений и собственных движе ний звезд. С 1996 г. (IERS Conventions, 1996) в качестве опорных используются также положения квазизвездных радиоисточников (квазаров), которые в силу своей удаленности от Земли практически не имеют собственных движений. В настоящее время в качестве стандартного рекомендован каталог FK-5, который содержит обе фундаментальные системы. В качестве основной координатной плоскости используется плоскость, связанная с экватором J2000.0, ось абсцисс направлена в равноденствие J2000.0. Опорную небесную систему координат, связанную с барицентром Солнечной системы, вычисленным на эпоху J2000.0, называют BCRC (Barycentric Celestial Reference System), а опорную небесную систему координат, связанную с центром Земли на эпоху J2000.0, — GCRS (Geocentric Celestial Reference System). В задачах динамики ИСЗ используются только системы координат, связанные с центром Земли, поэтому в обозначени ях можно опустить упоминание о геоцентре и опорную систему координат обо значать как CRS.

Земная опорная система координат реализуется в виде списка средних прямоугольных координат станций, отнесенных к определенной эпохе. Начало координат помещается в центре масс всей Земли, включая океаны и атмосферу, ось аппликат направлена к среднему северному полюсу Земли (Международное условное начало — CIO). CIO и плоскость нулевого меридиана в настоящее время определяются Международной службой вращения Земли и референцных систем (http://www.iers.org). Эту систему будем обозначать как TRS (Terrestrial Reference System) 1.

Связь между системами координат CRS и TRS определяется формулами:

Матрица прецессии D задается формулой а прецессионные параметры 0, z, находятся из соотношений Более подробное описание современных опорных систем координат можно найти, например, в моногра фии К.М. Антоновича (2005).

0 = (2306,2181 + 1,39656T 0,000139T 2 ) + (0,30188 0,000345T )2 + z = 0 + (0,79280 + 0,000400T )2 + 0,0182033, = (2004,3109 0,85330T 0,000217T 2 ) + (0,42665 0,000217T ) где Т отсчитывается в юлианских столетиях от эпохи J2000.0 до выбранной произвольно эпохи, а — от выбранной эпохи до даты наблюдения также в юлианских столетиях.

Матрица нутации С задается формулой где Для вычисления, используются ряды в соответствии с принятой Между народным астрономическим союзом в 1980 г. теорией нутации (IERS Conventions, 1996) где Коэффициенты Ai, Ai, Bi, Bi и целочисленные множители N i фундаментальных аргументов Fi приведены в (IERS Conventions, 1996), а также в прил. 1 к элек тронной хрестоматии «Динамика искусственных спутников Земли»

(http://solar.tsu.ru). Фундаментальные аргументы вычисляются по формулам:

F1 = l = 134°,96340251 + 1717915923, 2178t + 31,8792t 2 + 0, 051635t 3 0, 00024470t 4, F2 = l = 357°,52910918 + 129596581.0481t 0,5532t 2 + 0, 000136t 3 0, 00001149t 4, F3 = F = 93°, 27209062 + 1739527262.8478t 12, 7512t 2 0, 001037t 3 + 0, 00000417t 4, F4 = D = 297°,85019547 + 1602961601, 2090t 6,3706t 2 + 0, 006593t 3 0, 00003169t 4, F5 = = 125°, 04455501 6962890, 2665t + 7, 4722t 2 + 0, 007702t 3 0, 00005939t 4, где t измеряется в юлианских столетиях от эпохи J2000.0 (каждое столетие по 36525 дней, каждый день по 86400 секунд динамического времени);

l — сред няя аномалия Луны;

l — средняя аномалия Солнца;

F = L ;

D — средняя элонгация Луны от Солнца;

— средняя долгота восходящего узла Луны;

L — средняя долгота Луны.

В IERS стандарт 1996 и 2003 (IERS Conventions, 1996) введена также объ единенная теория прецессии–нутации, в которой используются смешанные ря ды прецессии–нутации с вековыми членами, определяемыми прецессией.

Матрица B осуществляет преобразование инерциальной CRS-системы ис тинной даты в систему TRS истинной даты:

Истинное гринвичское звездное время h определяется формулой где H 0 = 24110 s,54841 + 8640184s,812866T* + 0s,093104T*2 6s,2 106 T*3 (1.6) — гринвичское среднее время в 0h на дату наблюдения;

H = cos ;

t0 — временной интервал от 0h UTI на дату наблюдения до момента наблюдения;

t = UT 1 UTC ;

= 86401s,84812866 — скорость среднего звездного враще ния Земли;

T* = d* / 36525, причем d* есть число дней во всемирном времени от эпохи J2000.0.

Движение полюса задается матрицей где xP есть положительное южное перемещение вдоль гринвичского меридиа на, заданного BIH;

yP — положительное южное перемещение по направлению, перпендикулярному гринвичскому меридиану. Величины xP, yP — координаты мгновенного полюса относительно полюса BIH 1984, публикуются в циркуля рах BIH, кроме того, их можно найти по электронному адресу:

http://maia.usno.navy.mil.

2. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

2.1. Притяжение объемного тела Рассмотрим задачу о притяжении материальной точки P единичной массы телом K. Следуя далее связанную с телом систему координат О с началом в центре масс тела (Рис. 2.1).

Пусть элемент объема d тела K находится в точке P(,,), плотность распределения масс обозначим через. Тогда потенциал притяжения или силовая функция тела K в точке P(,,) будет определяться формулой где f — постоянная тяготения;

= ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 — расстояние точки P(,,) от текущей точки P(,,);

T — объем, занятый телом K.

Если обозначить через r и r радиус-векторы точек P и P', через — угол между ними, то и можно записать в виде = r 2 + r 2 2rr cos, где Потенциал U обладает, как известно (Дубошин, 1968), следующими свой ствами:

1. Потенциал U есть функция, непрерывная во всем пространстве, обра щающаяся в нуль в бесконечности, причем lim(rU ) = fM, где M — масса 2. Частные производные первого порядка от потенциала U по координа там являются непрерывными функциями во всем пространстве и обра щаются в нуль в бесконечности.

3. Если через X,Y,Z обозначить проекции силы притяжения точки P телом K на координатные оси O, O, O, то во всем пространстве 4. Во внешнем относительно тела K пространстве потенциал U удовле творяет уравнению Лапласа 5. Внутри тела M потенциал U удовлетворяет уравнению Пуассона Для доказательства первых четырех свойств достаточно, чтобы функция была кусочно-непрерывной, а для доказательства условия 5 требуется выпол нение условия Гольдера, которое состоит в том, что для точки P, лежащей внутри тела K, всегда найдется объем d, содержащий точку P, что для любых двух точек (1,1,1) и (2,2,2) этого объема имеет место неравенство постоянные величины, причем 0 1. Это условие будет выполнено, если плотность имеет непрерывные частные производные первого порядка.

Перечисленные свойства полностью определяют потенциал притяжения тела K и могут быть использованы для его практического определения. Возмо жен, конечно, и другой подход, который заключается в непосредственном вы числении интеграла (2.1). Однако в конечном виде этот интеграл берется толь ко в некоторых частных случаях: однородный шар, шар с концентрическим распределением плотности, однородный двухосный или трехосный эллипсоид.

Как известно, для концентрического шара потенциал дается формулой В общем случае, рассмотренном в начале этого раздела, интеграл (2.1) можно вычислить только при помощи ряда. Наибольшее распространение получило в настоящее время разложение потенциала в ряд по сферическим функциям.

2.2. Основные сведения о полиномах Лежандра Остановимся на основных свойствах полиномов Лежандра. Полином Лежандра Pn(z) порядка n можно определить формулой Родрига Выпишем несколько первых Pn(z):

Формулу (2.2) можно преобразовать к виду где h = или h =, в зависимости от того, какое из этих чисел целое.

Полиномы Лежандра высших порядков могут быть вычислены при по мощи рекуррентного соотношения Кроме того, справедливы формулы Отметим некоторые важные свойства полиномов Лежандра 2:

1. Полином Лежандра является четной или нечетной функцией в зависи мости от того, четна или нечетна его степень, так что 2. На границах интервала [-1,1] полином Лежандра принимает следующие значения:

3. Для любого z из промежутка (-1,1) при n 4. При больших n справедлива оценка 5. Справедлива формула Лапласа 6. Производящей функцией для Pn(z) является функция (1 2z + 2 ) 1/ 2, 7. Полином Лежандра удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению второго порядка:

которое называется уравнением Лежандра.

Более подробное изложение теории полиномов Лежандра можно найти в монографиях (Гобсон,1952;

Ак сенов 1986) и в учебном пособии (Холшевников и др., 2005).

2.3. Присоединенные функции Лежандра. Общее выражение для сфериче ских функций Присоединенную функцию Лежандра Pn,m(z) порядка n и степени m можно оп ределить формулой где Pn ( z ) — полином Лежандра.

Используя формулы (2.3), запишем несколько первых Pn,m ( z ) :

Для вычисления Pn,m ( z ) можно использовать следующие рекуррентные соотношения:

При этом достаточно пользоваться первой формулой, принимая во внимание, Присоединенные функции Лежандра являются составными элементами сферических функций. Функции двух аргументов Pn,m(cos )cos m, Pn,m(cos )sin m называются элементарными сферическими функциями.

Сферическая функция порядка n определяется формулой где An,m, Bn,m — произвольные постоянные.

Функция Yn удовлетворяет следующему уравнению в частных производ ных:

а присоединенная функция Лежандра Pn,m является одним из решений уравне ния которое при m = 0 переходит в уравнение Лежандра.

Приведем формулу, которая носит название теоремы сложения для поли номов Лежандра:

Отметим одно важное свойство сферических функций: интеграл по по верхности сферы единичного радиуса от произведения элементарных сфериче ских функций различных порядков и степеней равен нулю. В то же время 2.4. Нормированные и полностью нормированные функции Лежандра В динамике ИСЗ используются как присоединенные функции, так и нормиро ванные и полностью нормированные функции Лежандра. Пусть Pт,m дается ра венствами (2.9) и (2.4):

Тогда нормированная присоединенная функция Лежандра P'nm задается форму лой а полностью нормированная функция — формулой и таким образом, учитывая (2.14), где Pn(z) — полином Лежандра.

Используемое здесь нормирование имеет следующий смысл:

для Pnm согласно (2.13) имеем а для Pn,m и P n,m будем иметь:

где S — поверхность сферы единичного радиуса.

2.5. Разложение потенциала в ряд по сферическим функциям Как и ранее, будем предполагать, что притягивающее тело имеет произвольную форму, а плотность является кусочно-непрерывной функцией координат. Тогда в системе координат О, жестко связанной с телом, потенциал U в точке P(,,) задается формулой (1.1).

Предположим, что точка P лежит вне притягивающего тела. Разложим в ряд 1/. Для этого представим 1/ в виде Это дает возможность применить формулу (2.8), полагая = r / r. Получаем и подставляя эту формулу в (2.16), будем иметь:

Перейдем к полярным (или сферическим) координатам:

Тогда cos можно записать в виде Для того чтобы представить правую часть (2.18) в полярных координатах, вос пользуемся теоремой сложения для полиномов Лежандра (2.12). Это дает Далее, поскольку равенство (2.19) примет вид Подставим эту формулу в (2.18) и введем обозначения где M — масса тела;

r0 — некоторая линейная величина для земного экватори ального радиуса. Величины Jn, Cn,m, Sn,m являются безразмерными. С учетом введенных обозначений мы получаем хорошо известные разложения потенциа ла U:

Коэффициенты Jn, Cn,m, Sn,m зависят от формы тела и распределения массы внутри него. Рассмотрим первые из них. Пусть в (2.20) n = 0. Так как Далее, положим в (2.20) n = 1, m = 1, и аналогично 0, 0, 0 — координаты центра масс тела. Поскольку система O находится в центре масс, то Для n = 2, m = 1, m = 2 можно получить где A, B, C — главные центральные моменты инерции;

D, E, F — произведения инерции, т.е.

Учитывая перечисленные свойства, U можно переписать в виде Замечания:

1. Разложение потенциала U сходится абсолютно и равномерно при r r, где r — расстояние наиболее удаленной точки поверхности тела от его центра.

2. Если одна из осей, скажем O, совпадает с главной центральной осью инер ции, тогда D = 0, E = 0, а следовательно, и C21= 0, S21 = 0. Если все три коорди наты совпадают с главными центральными осями инерции, тогда и коэффици ент S22 = 0.

3. Если плотность является функцией времени, то и коэффициенты J n, Cn,m, S являются функциями времени, а если постоянна, коэффициенты также постоянны.

2.6. Различные формы записи потенциала притяжения Земли 1. Стандартная форма, утвержденная комиссией №7 МАС, имеет вид 2. В теоретических расчетах обычно применяется формула где связь с коэффициентами Cn,m, Sn,m задается соотношениями 3. В нормированной форме Pn,m Pn,m 4. Полностью нормированная форма имеет вид 5. При численном моделировании используется наиболее общая форма записи причем Следует отметить, что в современных стандартных представлениях гео потенциала коэффициенты Jn не выделяются.

2.7. Структура разложения потенциала Земли Рассмотрим представление потенциала Земли в виде Все члены этого разложения можно разделить на три группы:

1. Зональные гармоники. Пусть m = 0, тогда имеем члены вида Рис. 2.2. Положительные и отрица- Рис. 2.3. Положительные и отрица тельные значения зональной гармо- тельные значения тессеральной гар Рис. 2.4. Положительные и отрица- принимать попеременно положитель тельные значения секториальной ные и отрицательные значения. Этот казано распределение положительных и отрицательных зон для n=4.

2. Тессеральные гармоники (рис. 2.3). Пусть 0 m n, тогда имеем чле которые обращаются в нуль на n – m параллелях, определяемых уравнением и 2m меридианах cos m = 0, sin m = 0.

3. Секторальные гармоники (рис. 2.4). Пусть, наконец, m=n, имеем члены В этом случае, поскольку порядок дифференцирования и порядок полинома совпадают, формулы (2.29) обращаются в нуль только на меридианах, когда cos n = 0 или sin n = 0.

Рассмотрим механический смысл различных слагаемых в (2.26). Самый первый член U представляет собой потенциал шара со сферическим распреде лением плотности, а все остальные члены характеризуют отличие Земли от тела сферической формы.

Вторая зональная гармоника характеризует полярное сжатие Земли и яв ляется основной характеристикой. Остальные дают более мелкие детали. Тес серальные и секторальные гармоники характеризуют отклонение Земли от тела, динамически симметричного относительно оси вращения. Зональные гармони ки, для которых n нечетно, и тессеральные гармоники, для которых ( n m ) не четно, определяют асимметрию Земли относительно экватора.

2.8. Определение постоянных гравитационного поля Земли. Стандартные Земли Числовые коэффициенты Cn,m и Sn,m разложения (2.26) потенциала Земли опре деляются как путем геодезических и гравиметрических измерений, так и с по мощью наблюдений ИСЗ. Создание и уточнение гравитационных моделей Зем ли является одной из основных задач, которая решается с помощью наблюде ний ИСЗ с одновременным привлечением геодезических и гравиметрических данных. Первые модели гравитационного поля Земли, так называемые Стан дартные Земли, были построены в Смитсонианской астрофизической обсерва тории в 70-х гг. прошлого века. Модель Стандартная Земля I получена на осно ве фотографических наблюдений спутников камерами Бейкера—Наанна. Стан дартная Земля II включает в себя все коэффициенты разложения земного по тенциала до 16-го порядка включительно и некоторые гармоники более высо кого порядка. Одновременно определялись координаты наблюдательных стан ций, причем точность определения координат многих станций 10 м и лучше.

Стандартная Земля III содержит зональные гармоники до 36-го порядка, все тессеральные гармоники до 18-го порядка и степени и некоторые гармоники более высоких порядков.

Годдардовский центр космических полетов в 80-е гг., используя спутни ковые и гравиметрические данные, получил более точные модели Земли — GEM (Goddard Earth Model). Модель GEM9 основана на обработке оптических, лазерных и радиотехнических наблюдений почти 30 спутников. Всего было ис пользовано 840000 спутниковых измерений, из них почти 200000 лазерных на блюдений. Модель GEM10 объединяет спутниковые данные GEM9 с гравимет рическими измерениями. Использовались данные 1654 средних гравитацион ных аномалий на пятиградусных площадках, из них 1507 основывается на од ноградусных аномалиях, в то время как остальные 147 были получены интер поляцией на пятиградусные площадки. При построении моделей GEM9 и GEM10, в отличие от более ранних моделей, определялись дополнительно три фундаментальных геодезических параметра — средний радиус Земли r0, грави тационная константа fM и среднее ускорение силы тяжести на экваторе ge.

Современные модели гравитационного поля развиты до более высоких порядков и степеней. Так, например, доступная через Интернет модель (JGM3) имеет порядок и степень, равные 360 (http://www.aiub.unibe.ch/download/ BSWUSER50/GEN/JGM3).

2.9. Представление потенциала Земли системой точечных масс Другой способ представления потенциала Земли основан на использовании системы точечных масс. В этом случае потенциал U задается, как правило, формулой Здесь U 0 — потенциал задачи двух неподвижных центров (см. гл. 5), а U n представляет собой потенциал точечной массы mn :

ординатами xn, yn, zn.

Некоторые способы оптимального выбора параметров системы точечных масс можно найти в учебном пособии (Холшевников и др., 2005).

3. КЛАССИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

ДВИЖЕНИЯ ИСЗ

3.1. Уравнения движения в прямоугольных координатах Будем представлять движение искусственного спутника Земли как движение материальной частицы бесконечно малой массы в поле тяготения центрального тела массой M под действием сил, определенных потенциальной функцией U, и совокупности сил P, не имеющих потенциала. Тогда дифференциальные уравнения движения частицы в инерциальной прямоугольной системе коорди нат, связанной с центральным телом M, можно представить в виде с начальными условиями где Причем первое слагаемое в U — потенциал, обусловленный притяжением сфе рической Земли, рассматриваемой как материальная точка, а второе слагаемое представляет собой потенциал возмущающих сил;

x = ( x1, x2, x3 )T — вектор по ложения спутника;

t — физическое время;

r — модуль вектора положения;

= k 2 M, k 2 — универсальная гравитационная постоянная;

U = U (t, x), / x — градиент.

В качестве возмущающей силы, имеющей потенциал в задачах динамики ИСЗ, рассматривается, как правило, влияние несферической составляющей гра витационного поля Земли (см. гл. 2). Все же остальные силы, включая влияние Луны и Солнца, положение которых задается либо таблично, либо в виде рядов, полученных вне задачи о движении ИСЗ, относятся к силам, не имеющим по тенциала.

При введении в уравнения (3.1) силы, обусловленной влиянием несфе ричности Земли, следует помнить, что уравнения движения записаны в инерци альной системе координат, а потенциал гравитационного поля Земли отнесен к вращающейся системе координат, жестко связанной с Землей. Преобразования, связывающие эти системы координат, описаны в гл. 1.

3.2. Уравнения движения в оскулирующих кеплеровых элементах Применение метода вариации произвольных постоянных к уравнениям (3.1) по зволяет записать уравнения движения ИСЗ в оскулирующих элементах. Такие уравнения используются при построении как численных, так и аналитических алгоритмов прогнозирования движения.

При численном прогнозировании использование уравнений в оскули рующих элементах обладает тем преимуществом, что невозмущенная часть этих уравнений интегрируется без методических ошибок любым численным методом. Кроме того, скорость изменения функции правых частей этих уравне ний существенно меньше, чем при использовании прямоугольных координат.

Решение уравнений (3.1) в случае невозмущенного движения имеет вид (Дубошин, 1968):

Величины, i,, p, e, — традиционно используемые элементы кеплеровой орбиты: долгота восходящего узла, наклонение орбиты к основной координат ной плоскости, долгота перицентра от узла, параметр орбиты, ее эксцентриси тет и момент прохождения через перицентр. Параметры,, представляют собой направляющие косинусы орбитальной системы координат относительно инерциальной системы, используемой в уравнениях (3.1).

Аргумент широты u определяется формулой истинная аномалия связана с независимой переменной соотношением Элементы кеплеровой орбиты являются в формулах (3.3), (3.5) постоянными и полностью определены начальными условиями системы уравнений (3.1).

Применение к уравнениям возмущенного движения (3.1) метода вариации произвольных постоянных в предположении, что решение уравнений (3.1) со храняет форму (3.3), но величины, i,, p, e, являются функциями времени, позволяет получить уравнения движения в оскулирующих элементах (t ), i (t ), (t ), p(t ), e(t ), (t ) :

Здесь S, T,W — компоненты возмущающего ускорения в орбитальной системе координат. Компонента S направлена вдоль вектора положения спутника x, T — по направлению, перпендикулярному x, которое лежит в плоскости, про ходящей через x и x, и составляет с направлением движения угол, меньший 90° ;

W — по нормали к плоскости x, x. Связь между S, T,W и возмущающи ми ускорениями системы (3.1) задается формулами Величины,,,,, вычисляются по формулам (2.11), величины,, — по следующим формулам:

В уравнениях (3.6) величина N определяется формулой а связь между истинной аномалией и независимой переменной t осуществ ляется с помощью соотношения (3.5).

Уравнения (3.6) носят название уравнений Ньютона–Эйлера. Начальные условия системы (3.6) 0, i0, 0, p0, e0, 0 определяются из начальных условий системы (3.1) по формулам невозмущенного движения.

В качестве независимой переменной в уравнениях (3.6) можно использо вать не только физическое время t, но и угловые переменные, связанные с ор битальным движением — истинную аномалию v (Таратынова, 1957), аргумент широты (Охоцимский, Энеев, Таратынова, 1957) и др.

Наличие эксцентриситета в знаменателе ряда членов в уравнениях (3.6) может приводить к потере точности при исследовании почти круговых спутни ковых орбит. В этом случае удобна, например, система уравнений, приведенная в (Бордовицына и др., 1991):

где в качестве независимой переменной выбран аргумент широты, а элементы g и h имеют вид Компоненты возмущающего ускорения S, T,W определяются формулами где Последнее уравнение в (3.9) дает связь оскулирующего и драконического пе риодов обращения спутника.

При построении аналитических и численно-аналитических алгоритмов прогнозирования движения ИСЗ используются также уравнения Лагранжа для оскулирующих кеплеровых элементов, которые связывают изменения элемен тов с частными производными от возмущающей функции по элементам. На пример, для системы элементов, i,, a, e,, где = + — долгота перицен тра;

a — большая полуось орбиты спутника;

= + M 0 — средняя долгота в эпоху t0 ;

M 0 — средняя аномалия в эпоху, имеем следующую систему уравне ний Лагранжа (Дубошин, 1968):

причем n = Ka 3 / 2 – среднее движение спутника.

Связь между частными производными от возмущающей функции R и возмущающими ускорениями задается формулами Уравнения Ньютона–Эйлера используются, как правило, в задачах численного прогнозирования движения ИСЗ, а также при построении аналитических и по луаналитических теорий движения для учета возмущений от сил, не имеющих потенциала. Для учета возмущений от потенциальных сил в аналитических ме тодах используются уравнения Лагранжа.

При построении аналитических и численно-аналитических теорий с уче том всех видов возмущений могут использоваться канонические переменные.

3.3. Вывод уравнений в возмущениях канонических переменных методом Гамильтона–Якоби Запишем уравнения (3.1) в канонической форме, полагая xi = qi, xi = pi, & При этом гамильтониан H будет определяться формулой Перейдем от переменных q и p к Q(q, p, t ), P(q, p, t ) :

Если существует функция K ( P, Q, t ) такая, что то преобразования q, p Q, P называются каноническими.

Производящей функцией S ( P, q, t ) преобразования называется такая функция, что Эти уравнения можно разрешить относительно qi, pi :

Функция K связана с H следующим образом:

Если удается найти такое K 0, то векторы P и Q становятся постоянными, и мы получаем для определенной функции S уравнение Гамильтона–Якоби Если далее удается найти полное решение уравнения (3.20), то решением сис темы (3.14) являются соотношения (3.18). Как правило, в общем виде это сде лать не удается. Однако если H = H 0 + H ( H = H () — мало по сравнению с H 0 ) и существует полный интеграл S0 для уравнения тогда с помощью метода вариации произвольных постоянных можно получить уравнения в возмущениях канонических переменных О методах решения уравнений типа (3.22) речь пойдет в гл. 6.

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ,

ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ИСЗ

4.1. Возмущения от несферичности геопотенциала Из всего сказанного в гл. 2 с очевидностью следует, что проекции силы, созда ваемой несферичностью земного потенциала на оси прямоугольной, жестко связанной с Землей системы координат, задаются формулами где Однако способ представления этих производных в правых частях уравне ний движения будет зависеть от метода интегрирования уравнений. При при менении аналитических методов производные от потенциала Земли должны быть представлены в виде явных функций от элементов орбиты спутника и времени, а при применении численных методов удобно использовать прямо угольные координаты. Последнее замечание в равной степени относится и к представлению в уравнениях движения других сил, действующих на ИСЗ. В дальнейшем каждый из этих подходов рассмотрим отдельно.

4.2. Возмущения от приливных деформаций центрального тела Заметный вклад в возмущения искусственных спутников Земли вносит влияние приливных деформаций, возникающих в теле планеты под действием притяже ния внешнего тела. В результате притяжения внешнего тела на каждый элемент массы Земли действует сила, потенциал которой на поверхности Земли опреде ляется формулой где ml, rl — масса и геоцентрический радиус-вектор внешнего тела;

r0 — сред ний радиус Земли;

— угол между направлением на внешнее тело и рассмат риваемый элемент массы Земли. Эта сила вызывает приливную деформацию в теле Земли, в результате чего притяжение Земли изменяется и возникают до полнительные силы, характеризующиеся потенциалом R. С помощью модели Лява этот потенциал на поверхности Земли представляется формулой где kn — постоянные, называемые числами Лява и характеризующие упругие свойства Земли. Во внешнем пространстве R определяется формулой где r — радиус-вектор внешней точки.

Модель Лява является основной моделью представления потенциала дей ствующих на ИСЗ сил, обусловленных приливными деформациями в теле Зем ли. В настоящее время разработаны более полные приливные модели, точнее учитывающие упругие свойства Земли, например, модель Вара. Кроме того, со временные модели учитывают влияние приливных деформаций, возникающих в океане и атмосфере Земли. Более подробно рассмотрим эти вопросы в гл. 8, когда будем говорить об алгоритмах вычисления этих возмущений при числен ном моделировании движения.

4.3. Лунно-солнечные возмущения При наличии в движении ИСЗ возмущений от третьего тела в уравнениях дви жения появляется сила, определяемая формулой щающего тела;

x = ( x1, x2, x3 ) — вектор положения возмущающего тела;

r =| x |, а — произведение постоянной тяготения на массу возмущающего тела.

Возмущающее влияние Луны и Солнца на движение ИСЗ принято счи тать независимыми друг от друга, поэтому формулой (4.3) можно пользоваться и в том и в другом случае. При одновременном учете возмущений от Луны и Солнца в правой части уравнений (3.1) будут два слагаемых типа (4.3).

Главная трудность при учете лунно-солнечного влияния будет состоять в представлении координат возмущающего тела в требуемой форме.

4.4. Возмущения от светового давления Перейдем к рассмотрению негравитационных возмущений, действующих на небесные тела. Одним из таких возмущений является световое давление. Будем предполагать, что мощность потока солнечной радиации постоянна, сила све тового давления всегда направлена по линии Земля–Солнце, орбита Земли кру говая, спутник имеет сферическую форму. При этих предположениях сила пря мого светового давления Солнца на спутник может быть задана формулой где x — геоцентрический вектор положения спутника;

x S — геоцентрический вектор положения Солнца;

S — взаимное расстояние между спутником и Солнцем;

aS — большая полуось орбиты Земли;

k — параметр, характери зующий отражательные свойства поверхности спутника (при k = 1 — отраже ние зеркальное, при k = 1.44 — дифузное), q = 4.65 105 дин/см 2 — солнечная Рис. 4.1. Условие пребывания спутника Солнцем, = 0 — в противном слу ническую форму, но в тех случаях, когда высокая точность не требуется, можно считать, что ввиду удаленности источника тень имеет цилиндрическую форму.

4.5. Возмущения от сопротивления атмосферы На ИСЗ, движущиеся на высоте 150–1500 км, заметное влияние оказывает со противление атмосферы. Сила сопротивления воздуха, действующая на посту пательное движение спутника, направлена противоположно скорости объекта относительно воздуха, а ее абсолютная величина определена формулой где S — площадь поперечного сечения спутника;

cd — безразмерный коэффи циент аэродинамического сопротивления воздуха;

— плотность воздуха;

vотн — скорость спутника относительно атмосферы.

Наибольшая сложность при определении возмущений от сопротивления атмосферы заключается в вычислении плотности атмосферы. Величина плотности атмосферы является функцией молекулярного веса воздуха M и его абсолютной кинетической температуры T :

где h — высота над поверхностью Земли;

1, M 1, T1 — значения соответствую щих величин на высоте h = h1.

Изменение параметров M и T — это функции времени и геофизических факторов изменения состояния атмосферы, зависящих от активности Солнца.

Именно поэтому в изменении параметров атмосферы наблюдается периодич ность, связанная с обращением Земли вокруг Солнца, с обращением Солнца во круг своей оси, с изменением солнечной активности в течение одиннадцатилет него цикла и т.п.

Модели атмосферы, учитывающие зависимость ее параметров не только от высоты, но и от перечисленных выше факторов, принято называть динами ческими. Поскольку построение этих моделей процесс трудоемкий, на прак тике пользуются различными упрощенными моделями. Например, статической моделью атмосферы, которая дает возможность определять плотность как функцию высоты и не учитывает зависимость плотности от времени. Большое распространение в практике имеют также локальные модели атмосферы, при годные лишь для заданного диапазона высот и в течение определенного интер вала времени. Простейшим примером локальной модели может служить так на зываемая изотермическая модель полученная в предположении, что величины M и T постоянны. Здесь есть высота однородной атмосферы или шкала высот, являющаяся, в свою оче редь, функцией высоты h ;

R0 — универсальная газовая постоянная;

q — уско рение силы тяжести, в приведенной выше формуле эта величина считается по стоянной.

В последние несколько десятилетий разработан целый ряд так называе мых квазидинамических моделей атмосферы. Первыми наиболее значимыми моделями такого рода были модель ГОСТ - 22721-77, модель Яккиа (Jacchia, 1977), модель, разработанная Ф. Барлье и др. (Barlier et al., 1978), а также мо дель Хариса–Прейстера (Harris, Priester, 1962).

Все указанные модели вместе с изменением атмосферной плотности с высотой учитывают основные вариации этой плотности во времени. В частно сти, учитываются суточные вариации плотности, вариации, связанные с один надцатилетним и двадцатисемидневным циклами солнечной активности, полу годовые вариации и вариации, обусловленные геомагнитной активностью. Мо дели Яккиа–Робертса и Барлье учитывают также сезонно-высотные вариации концентрации гелия в атмосфере, причем модель Барлье дает несколько зани женное по сравнению с измеренными значение амплитуды зимних колебаний концентрации гелия.

Модель ГОСТ 22721-77 была разработана в ИКИ АН СССР и представля ет собой совокупность формул для определения плотности воздуха. Характери стики модели получены по наблюдениям спутников серии «Космос», выпол ненным в 1964–1970 гг. Модель предназначена для вычисления значений плот ности верхней атмосферы на высотах 140–500 км в годы низкой и умеренной солнечной активности. Эта модель является наиболее эффективной по быстро действию при ее реализации на ЭВМ. К слабым сторонам модели следует отне сти ограниченный диапазон высот, а также недостаточно точную аппроксима цию вариаций плотности атмосферы, связанную с индексом F10.7 — интенсив ностью потока радиоизлучения на волне 10.7см. Последний недостаток частич но ликвидирован авторами в уточненной модели.

Модифицированная модель Яккиа представляет собой дальнейшее разви тие модели CIRA 1972. Она состоит из обширных таблиц, содержащих данные о концентрации основных составляющих верхней атмосферы: атмосферного кислорода, молекулярного кислорода, молекулярного азота, аргона, гелия и во дорода, а также о среднем молекулярном весе и других физических характери стиках атмосферы для различных высот и различных температур. Модель при годна для вычисления плотности воздуха в интервале высот от 90 до 2500 км над поверхностью Земли. Существует также аналитическая аппроксимация мо дели Яккиа.

Модель Барлье представляет собой совокупность формул для вычисления значений плотности воздуха на высотах 120–1200 км над поверхностью Земли.

Модель Хариса–Прейстера, которая была создана в центре космических полетов NASA, предназначена для диапазона высот 120–800 км. Она представ ляет собой обширные таблицы значений плотности воздуха для различных вы сот над поверхностью Земли, уровней солнечной активности и различных зна чений солнечного местного времени.

Современным продолжением моделей ГОСТ… является отечественная модель ГОСТ Р 25645.166-2004 (ГОСТ Р.2004), а продолжение моделей CIRA… — модель NASA NRLMSISE-00 (http://modelweb.gsfc.nasa.gov/atmos/ nrlmsise00.html). Обе модели получены по обширному наблюдательному мате риалу и рассчитаны на диапазон высот от 120 до 1500 км над поверхностью Земли. Сравнительная характеристика этих моделей (Васильева, 2006) показа ла, что по своим возможностям эти модели очень близки. На рис. 4.2 показана широтно-сезонная зависимость плотности атмосферы по двум моделям при фиксированных параметрах: j = 0±, l = 0±, F10.7 = 150, F81 = 150, ts = 14h, h = км.

Модель ГОСТ Р 25645.166- Причем j, l — географические широта и долгота;

F10.7 — поток радиоиз лучения Солнца на волне 10.7 см в единицах 10–22 Вт/(м2Гц);

F81 — поток F10.7, осредненный за три оборота Солнца вокруг своей оси;

ts — местное солнечное время;

h — высота над поверхностью Земли.

При построении аналитических и численно-аналитических алгоритмов прогнозирования движения ИСЗ применяются, как правило, упрощенные моде ли атмосферы. С численными же методами в зависимости от условий задачи могут использоваться модели всех упомянутых выше типов: динамические, статистические, локальные, и более того, применение в практике прогнозиро вания движения ИСЗ достаточно полных моделей атмосферы возможно пока только в сочетании с численными методами вследствие сложной структуры этих моделей.

4.6. Классификация орбит ИСЗ Орбиты запускаемых ИСЗ очень разнообразны. Они определяются начальными условиями, задаваемыми при выводе спутника на орбиту, и действием естест венных сил на пассивном участке полета. По геометрическому характеру дви жения различают следующие основные классы орбит:

1. Круговые и близкие к круговым. Эти орбиты имеют эксцентриситеты 0–0.03. Высота над поверхностью Земли для таких спутников мало меня ется в процессе полета. Состояние движения спутников на разных высо тах определяется различными возмущающими силами. В зависимости от высоты полета спутники этого класса орбит подразделяют на низколетя щие, средневысокие и высоколетящие.

Низколетящие ИСЗ движутся на высотах Н = 200–1500 км. Основ ными источниками возмущений на таких расстояниях от Земли являются несферичность Земли и сопротивление атмосферы. Превалирующим яв ляется сжатие Земли. Сопротивление атмосферы играет существенную роль до высоты 500–600 км и заметно влияет на движение для высот до 1500 км. Хотя возмущения, обусловленные сжатием Земли, значительно больше возмущений из-за сопротивления атмосферы, они не меняют су щественно орбиту спутника, а только поворачивают ее в пространстве.

Торможение же в атмосфере даже на больших высотах (1000–15000 км) изменяет орбиту спутника и, по сути дела, определяет продолжитель ность его существования.

Средневысокие — это внеатмосферные ИСЗ, движущиеся на высо тах до 30–35 тыс. км. Основными возмущающими факторами являются несферичность Земли и гравитационное влияние Луны и Солнца. Прева лирующим по-прежнему остается сжатие Земли. Начиная с высот около 20000 км, возмущения от притяжения Луны и Солнца становятся сравни мыми с влиянием аномалий силы тяжести Земли.

Высоколетящие ИСЗ движутся на высотах Н 30 тыс. км. Для та ких спутников возмущающее влияние Луны и Солнца становится равным или превышает возмущение от сжатия Земли. Начиная с высот 50000 км, действие притяжения Луны и Солнца превосходит все остальные грави тационные возмущения.

2. Слабо эллиптические орбиты характеризуются умеренным эксцентри ситетом, 0.03 e 0.2. Для них разность высот в апогее и перигее состав ляет от нескольких сотен до нескольких тысяч километров. По влиянию возмущающих сил спутники этого класса орбит поддаются приведенной выше классификации в зависимости от высоты Н.

3. Высокоэллиптические орбиты характеризуются большими значениями эксцентриситетов, e 0.2. При этом высота спутников в апогее может превышать высоту спутников в перигее в десятки и сотни раз. Спутники с такими орбитами называются высокоапогейными. Они не поддаются удобной классификации, приведенной нами для орбит класса 1, так как существенными для них могут быть все основные виды возмущений: от несферичности Земли, сопротивления атмосферы, притяжения Луны и Из числа приведенных видов спутников интересно выделить те, которые имеют периоды обращения, соизмеримые с периодом вращения Земли. Эти спутники могут иметь орбиты, относящиеся к любому из рассматриваемых классов, и движение их будет характеризоваться соответствующими возму щающими силами. Однако явление резонанса, возникающее вследствие соиз меримости среднего движения спутника с частотой вращения Земли, порождает дополнительные возмущающие силы, которые также могут оказывать значи тельное влияние на их орбиты.

Помимо приведенных классификаций, можно ввести еще классификацию спутников по расположению орбит в пространстве:

1) экваториальные спутники и близкие к ним;

их орбиты характеризуют ся небольшим наклонением к экватору, до i = 20° ;

2) спутники со средним наклонением, i = 40 70° ;

3) полярные спутники и близкие к ним, i = 80 100°.

Спутники с наклонением i 90° движутся по орбитам в обратном на правлении, пересекая плоскость экватора с севера на юг. Такие спутники назы ваются спутниками с обратным движением.

5. ГЛАВНАЯ ПРОБЛЕМА В ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ИСЗ

5.1. Вводные замечания Поскольку влияние возмущений от второй зональной гармоники геопотенциала в движении ИСЗ существенно больше влияния всех остальных возмущений, проблема учета влияния второй зональной гармоники была сформулирована как главная проблема в теории движения ИСЗ. Дифференциальные уравнения движения ИСЗ, содержащие возмущения от J 2, не интегрируются в квадрату рах. Высокоточный учет влияния этой гармоники геопотенциала в аналитиче ской теории движения ИСЗ предполагает построение достаточно длинных ря дов по степеням малого параметра. Эта процедура является весьма трудоемкой.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 




Похожие материалы:

«Издания, отобранные экспертами для ЦНБ УрО РАН (июнь - сентябрь 2010) Дата Издательство Оценка Издание Группа Институт Эксперт ISBN Гримак, Л.П. Резервы человеческой психики : введение в психологию Приобрест активности / Л. П. Гримак. - Изд. 3- Гуманитарные ISBN 24 Институт Бронин и для ЦНБ е, испр. - Москва : URSS, cop. 2009. и 16/6/201 978- высокотемпературн Димитрий URSS УрО РАН - 235 с. ; 22 см. - (Из наследия Л. П. общественные 0 ой электрохимии Игоревич (ЦБ Коми) Гримака). - УДК 159.922 ...»

«Сны Сирен / Евгений Ничипурук.– //АСТ; Астрель, Москва; Спб., 2009 ISBN: 978-5-17– 059549-5 FB2: “prussol ”, 01.07.2009, version 1.0 UUID: c7ad1cd5-b6be-102c-a682-dfc644034242 PDF: fb2pdf-j.20111230, 13.01.2012 Евгений Ничипурук Сны сирен Однажды вы заснете – и ваша жизнь изменится. Однажды вы проснетесь – и окажется… что все еще спите. Тогда вы откроете дверь в Сад Сирен и сделаете шаг вперед… Но сможете ли вы вернуться? Эзотерические опыты и мифология в загадочном романе о путешествии в мир ...»

«УДК636.5/.6 ББК46.8 С57 Серия Приусадебное хозяйство основана в 2000 году Художник Н.Н. Колесниченко Подписано в печать 26.07.02. Формат 84x1081/32. Усл. печ. л. 5,88. Тираж 10 000 экз: Заказ № 3438. Содержание фазанов / Авт.-сост. СП. Бондаренко; С57 Худож. Н.Н. Колесниченко. — М.: ООО Издательство ACT; . Донецк; Издательство Сталкер, 2002. — 107, [5] с: ил.— (Приусадебное хозяйство). ISBN 5-17-009231-8 (GOO Издательство ACT) ISBN 966-596-509-3 (Сталкер) Книга в доступной форме рассказывает ...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А.Л. Сальников РАСТИТЕЛЬНЫЙ ПОКРОВ ДЕЛЬТЫ ВОЛГИ: ПРОДУКТИВНОСТЬ, ДИНАМИКА, КРИЗИСНЫЕ ПРОЦЕССЫ Монография Издательский дом Астраханский университет 2011 1 УДК 502.75 ББК 41.8 С 16 Рекомендовано к печати редакционно-издательским советом Астраханского государственного университета Рецензенты: доктор биологических наук, профессор кафедры морфологии и экологии животных, заведущий лабораторией молекулярной биологии ...»

«ПОЧВОВЕДЕНИЕ, 2010, № 5, с. 515–526 ГЕНЕЗИС И ГЕОГРАФИЯ ПОЧВ УДК: 631.4 ПОЧВЫ И КУЛЬТУРНЫЙ СЛОЙ ВЕЛИКОГО НОВГОРОДА © 2010 г. А. В. Долгих, А. Л. Александровский Институт географии РАН, 117019, Москва, Старомонетный пер., 29 e mail: alexandrovskiy@mail.ru Поступила в редакцию 20.07.2009 г. В двух раскопах в Великом Новгороде изучены городские педоседименты (культурные слои), начав шие накапливаться в X–XI вв., и погребенные под ними дерново подзолистые почвы. Выделены этапы их развития. ...»

«I Содержание НОВОСТИ МЕСЯЦА Пищевая промышленность (Москва), 20.08.2013 1 Производство продовольствия ЕВРАЗИЙСКАЯ ИНТЕГРАЦИЯ В ОБЛАСТИ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ВОПРОСОВ ПРОДОВОЛЬСТВЕННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ Пищевая промышленность (Москва), 20.08.2013 7 По инициативе Института ЕврАзЭС и Национального союза экспортеров продовольствия при технической поддержке и непосредственном сотрудничестве с Продовольственной и сельскохозяйственной организацией ООН (ФАО) и поддержке Ассоциации отраслевых союзов АПК ...»

«Иоганна ПАУНГГЕР • Томас ПОППЕ ВСЁ в нужный МОМЕНТ Использование лунного календаря в повседневной жизни Санкт-Петербург Издательская группа Весь 2007 УДК 61, 634 ББК 86.39 П21 Защиту интеллектуальной собственности и прав ИЗДАТЕЛЬСКОЙ ГРУППЫ ВЕСЬ осуществляет агентство патентных поверенных АРС-П АТЕНТ Johanna Paungger, Thomas Рорре Vom richtigen Zeitpunkt Die Anwendung des Mondkalenders im tAglichen Leben Вся переписка с авторами осуществляется на немецком или английском языках. Адрес авторов: ...»

«Сергей Михайлович Масленников Страсти – болезни души. Избранные места из творений святых отцов. Дневник кающегося Серия Страсти – болезни души Текст предоставлен правообладателем pages/biblio_book/?art=2477445 Страсти – болезни души. Избранные места из творений святых отцов. Дневник кающегося. / Сост. и предисл. Масленникова Сергея Михайловича.: Сибирская Благозвонница; Москва; 2011 ISBN 978-5-91362-413-0 Аннотация В Евангелии Христос сравнивает Царство Небесное с маленьким зернышком, которое, ...»

«УДК 634 ББК42.3 М43 Серия Приусадебное хозяйство основана в 2000 году Подписано в печать 22.03.04. Формат 84х108732. Усл. печ. л. 5,88. Тираж 5000 экз. Заказ № 4235. Меженский В.Н. М43 Континентальный климат и садоводство / В.Н. Межен- ский. — М.: ООО Издательство ACT; Донецк: Стал- кер, 2004. — 110, [2] с. — (Приусадебное хозяйство). ISBN 5-17-024368-5 (ООО Издательство ACT) ISBN 966-696-514-3 (Сталкер) Представлена информация о механизмах повреждения плодовых культур в условиях ...»

«Энвер Ходжа Хрущев убил Сталина дважды Алгоритм; 2013, ISBN 978-5-4438-0308-1 Аннотация Энвер Ходжа был первым секретарем Албанской партии труда в 1941-1985 гг., и бессменным лидером Албании с 1945 по 1985 гг. Он неоднократно встречался со Сталиным, бывал на всех его дачах, присутствовал на заседаниях Политбюро ЦК ВКП(б), знал всех высших советских руководителей - Берия, Молотова, Маленкова, Булганина, Хрущева и пр. Дата рождения И.В. Сталина была провозглашена в Албании общенациональным ...»

«SHEILA FITZPATRICK EVERYDAY STALINISM ORDINARY LIFE IN EXTRAORDINARY TIMES: SOVIET RUSSIA IN THE 1930S NEW YORK OXFORD OXFORD UNIVERSITY PRESS 1999 ШЕЙЛА ФИЦПАТРИК ПОВСЕДНЕВНЫЙ СТАЛИНИЗМ СОЦИАЛЬНАЯ ИСТОРИЯ СОВЕТСКОЙ РОССИИ В 30-Е ГОДЫ: ГОРОД Москва 2008 УДК 929 (092) ББК 63.3.92.06-28 Ф64 Редакционный совет серии: Й. Баберовски (Jorg Baberowski), Л. Виола {Lynn Viola), А.Грациози {Andrea Graziosi), А.А.Дроздов, Э. Каррер Д'Анкосс {Helene Carrere D'Encausse), В.П.Лукин, С. В. Мироненко, Ю. С. ...»

«ЭЛЬЧИН ПОЛЕ притяжения критика: проблемы и суждения Перевод с азербайджанского Москва Советский писатель 1987 1 ББК 83.3Р7 Э53 Художник ЛЕОНИД ПОЛЯКОВ Э 4603010202 049 © Издательство Советский писатель, 1986 г. 466-86 083(02) 87 2 ОТ АВТОРА На одной из встреч с читателями мне был задан вопрос: - Рассказы в вашем новом сборнике очень разнятся по теме: один повествует о любви, другой - о старых людях, есть рассказы с фантастическим сюжетом. Что их объединяет, что дало вам повод собрать их под ...»

«Книга издана при содействии ОАО Федеральная сетевая компания Единой энергетической системы ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ЭНЕРГЕТИКИ Москва ООО Сошиал Нэтворкс Менеджмент 2013 Дорогие друзья! Вы сейчас стоите на пороге важного этапа своей жизни – выбора профессии. Когда-то такой выбор сделали более 20 тысяч работников Федеральной сетевой компании Единой энергетической системы России, и, мне кажется, что мало кто из них сегодня жалеет об этом. Почему? Да потому что мы – энергетики – занимаемся очень важным и ...»

«УДК 9 0 8 + 8 8 2 . 0 Б91 Давно стихами говорит Нева, его форме возмож, Закону РФ об авторском праве. п р е с л е д о в а т ь с я п0 Страницей Гоголя ложится Невский, Весь Летний сад — Онегина глава, В книге использованы фотографии А. С.Андреева, А.М.Колина, О Блоке вспоминают Острова, а также архивные фотоматериалы А по Разъезжей бродит Достоевский. Бунатян Г.Г., Чарная М.Г. .„ С.Маршак 591 Литературные места Петербурга. П у т е в о д и т е л ь , - С116. 11а ритет, 2 0 0 5 — 384 е., ил. ISBN 5 ...»

«А.М. Андреев ОСВОЕНИЕ И ОБУСТРОЙСТВО САДОВЫХ УЧАСТКОВ МАКСИМЬIЧА COBETbl ImJ == ТОВАРИЩЕСТВО МАКСИМЫЧ) ~.: . ~. :.: Москва . ,.f' ББК 38.75 А665 УДК 69:728.67 (083.13) Ответственный редактор Н.В.Попов Художник В.В.Соnдатенко Компьютерный набор и верстка А.А. Кузьмин Андреев А. М. А Советы Максимыча. Освоение и обустройство садовых 655 участков.М.: Центр экономики и маркетинга, 1995,304 с., илл. Обобщив солидный опыт многих строителей-садоводов ученых, автор создал и настолько доступную книгу, ...»

«Рекомендовано к публикации Издательским Советом Русской Православной Церкви ИС 10-19-1939 С 83 Страсти — болезни души. Избранные места из творений святых отцов. Дневник кающегося. / Сост. и предисл. Мас ленникова Сергея Михайловича. — М.: Сибирская Благозвонница, 2011. — 314, [6] с. (Серия Страсти — болезни души). ISBN 978-5-91362-413-0 Христианин! Задай себе вопрос: Почему я не имею важнейших до бродетелей: крепкой веры, упования на Бога, кротости, смирения, долготерпения, мира сердечного?. ...»

«Джеймс Роллинс: Амазония Джеймс Роллинс Амазония OCR Денис Джеймс Роллинс. Амазония: Эксмо, Домино; Москва; 2007 ISBN 5-699-20462-8 Оригинал: James Rollins, “Amazonia” Перевод: Надежда Парфенова 2 Джеймс Роллинс: Амазония Аннотация В джунглях Амазонии находят белого человека с отрезанным языком. Он умирает, успев передать миссионеру жетон с именем Джеральда Кларка, спецназовца армии США. Джеральд Кларк был агентом разведки и пропал в Бразилии четыре года назад вместе с экспедицией, ...»

«Омская государственная областная научная библиотека имени А.С. Пушкина Информационно-библиографический отдел Знаменательные и памятные даты Омского Прииртышья 2014 Омск 2013 УДК 908:02 ББК 91.9:26.890 (2 Рос53-Ом) З-721 Авторы-составители: Н. Н. Дмитренко, заведующая сектором краеведческой библиографии ОГОНБ имени А. С. Пушкина Ю. Ю. Михайлова, главный библиограф ОГОНБ имени А. С. Пушкина А. П. Сорокин, заведующий отделом Центр краеведческой информации ОГОНБ имени А. С. Пушкина О. В. Шевченко, ...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ Инновационные технологии производства новых овощных культур в Ростовской области (салатные линии, пекинская капуста, брокколи, томат-черри, огурец корнишонного типа, сахарная кукуруза) Научно-практические рекомендации г. Ростов-на-Дону 2012 УДК 635 ББК 42.3 Ч 89 Научно-практические рекомендации разработаны ФГБОУ ВПО Донской государственный аграрный университет по заказу мини стерства сельского хозяйства и продовольствия ...»






 
© 2013 www.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.